上海市格致中学2012届高三数学第三轮复习第5部分数列与极限题型整理分析.docVIP

第五部分　　数列与极限 35、等差数列{}中，通项，前项和（为公差，）.证明某数列是等差（比）数列，通常利用等差（比）数列的定义加以证明，即证：是常数(=常数，，也可以证明连续三项成等差（比）数列.即对于任意的自然数有：（）. ［举例］数列满足：. （1）求证：数列是等差数列；（2）求的通项公式. 分析：注意是到证明数列是等差数列，则要证明是常数.而，所以.即数列是等差数列.又，则，所以. 36、等差数列前n项和、次n项和、再后n项和（即连续相等项的和）仍成等差数列；等比数列前n项和（和不为0）、次n项和、再后n项和仍成等比数列.类比还可以得出：等比数列的前n项的积、次n项的积、再后n项的积仍成等比数列. ［举例1］已知数列是等差数列，是其前项的和，，则＿； 分析：注意到是等差数列的连续4项的和，它们成等差数列.可以得到，所以. ［举例2］已知数列是等比数列，是其前项的积，，则＿. 分析：由成等比，则，所以. 37、在等差数列中，若，则；在等比数列中，若，则等差（等比）数列中简化运算的技巧多源于这条性质. ［举例］数列是等比数列，，且公比为整数，则的值为＿＿＿＿＿＿＿. 分析：由得或，又此数列的公比为整数，所以公比，则. 38、等差数列当首项且公差，前n项和存在最大值.当首项且公差，前n项和存在最小值.求等差数列前项和的最值可以利用不等式组来确定的值；也可以利用等差数列的前项的和是的二次函数（常数项为0）转化成函数问题来求解. ［举例1］若是等差数列，首项，则（1）使前项和最大的自然数是＿＿；（2）使前项和的最大自然数 ； 分析：由条件可以看出，可知最大，则使最大的自然数为2006；由知，，，所以，则使的最大自然数为4012. ［举例2］在等差数列中，满足且是数列前项的和.若取得最大值，则＿＿＿＿＿. 分析：首项、公差（比）是解决等差（比）数列的最基本出发点.等差（比）数列的运算多可以通过首项与公差（比）来解决.由知，则.当时，当时，所以. 39、数列是等比数列，其前项的和是关于的分段函数，在求和过程中若公比不是具体数值时，则要进行讨论. ［举例1］数列是等比数列，前项和为，且，求的取值范围. 分析：注意到等比数列的公比是不为零的常数，前项和存在的前提条件是，且，知，则，有，则 . ［举例2］数列是等比数列，首项，公比，求的值. 分析：涉及到等比数列的前项和的问题不能直接的应用公式，要考虑到公比的取值情况.当时，，此时；当时，，则= . 40、等差数列、等比数列的“基本元”是首项、公差（比），当觉得不知如何用性质求解时，可以把问题转化成“基本元”解决.学会用任意两项关系：若｝是等差数列，则对于任意自然数有；若｝是等比数列，则对于任意的自然数，有.在这两关系式中若取，这就是等差（比）数列的通项公式. ［举例1］已知数列是等差数列，首项，且.若此数列的前项和为，问是否存在最值？若存在，为何值？若不存在，说明理由. 分析：对于本题来说，等差数列的基本性质用不上，可以化归为首项与公差来解决.设此数列的公差为，则，即，由知，所以数列是递减数列，故有最大值而无最小值.由等差数列的通项公式知：，当时，，当时，.所以最大.综上知，当时，最大，不存在最小值. [举例2]已知正项等比数列中，首项，且.若此数列的前项积为，问是否存在最值？说明理由. 分析：与举例1联系起来，这是数列中的“类比”问题.其解决的思想方法是一样的.对于单调正项数列，前项积最大（小），则应满足. 设此数列公比为，则，则..由知：时，时，.所以当时，最大，没有最小值. [特别注意]等差数列与正项等比数列之间存在的类比关系实际上是运算上的变化，这种变化可以由等差数列与等比数列的一个性质来揭示.我们知道：若数列是正项等比数列，记，则数列是等差数列.反之若数列是等差数列，记，则数列是等比数列. 41、已知数列的前项和，求数列的通项公式时，要注意分段.当满足时，才能用一个公式表示. ［举例］已知数列的前项和.若是等差数列，求的通项公式. 分析：证明一个数列是等差数列或是等比数列，要从等差、等比数列的定义出发.等差、等比数列的性质不能作为证明的理由. 由知，时，，当时， .当时，，而.若数列是等差数列，则，所以.则. 42、形如：+的递推数列，求通项用叠加（消项）法；形如：的递推数列，求通项用连乘（约项）法. ［举例］数列满足，求数列的通项公式. 分析：解决这种递推数列的思想方法实质上是等差、等比数列求通项公式的思想方法.等差数列的基本递推关系：，等比数列的递推关系：. 由题知：相加得：，又，所以，而满足此式，则. 43、一次线性递推关系：数列满足：是常数）是最重要的递推关系式，可以看出当时，此数列是等差数列，当（时，此数列是等比数列.解决此递推的方法是通过代换（令化成等比