不可公度证明.docVIP

正方形的对角线与边不可公度的代数证明 定理 是无理数. 证明（反证法） 假定定理的结论不成立：不是无理数，而是有理数，即。 通过约分，我们一定可以得到p和q没有公因数.这样一来，p,q不会同时是偶数， 由于 ， 平方得 。 所以，是偶数，从而p也是偶数.设p=2r（r是整数），这时上式变为  即 这样，是偶数，从而q也是偶数，这与p,q不会同时是偶数相矛盾.假设是有理数导致了矛盾.因此，必须放弃这个假设.定理证毕. 这个证明可以在欧几里得的《几何原本》找到，实际上远在欧几里得之前就已经有了证明。这是间接证明的一个最经典的例子。 正方形的对角线与边不可公度的几何证明。 证明的基本思想是，从任一个正方形开始，我们可以构造一系列正方形，其中一个比一个小。 图2 如图2所示，在正方形中，令，。在对角线上，截取。再作线段垂直于E，并交于。容易证明 因此，根据全等三角形对应边相等，我们有。在直角三角形中， ∠ ，从而三角形是等腰三角形，自然有。 接着，我们构造第二个正方形，它以为边，以为对角线。 这个过程可以永远重复下去，得到一系列越来越小的正方形，它们的边和对角线满足关系式： 。 几何构造过程已经结束，现在证明正方形的边和对角线是不可公度的。仍用反证法。如果它们是可公度的，则一定存在一个更小的线段，使得 于是， 这里。重复这个过程，就得到 现在我们得到了矛盾。因为比和小的正整数只有有限个，这与几何构造过程的无限性相矛盾。 图1 A B C D