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专题三 球与球面 一、知识梳理 1.到定点的距离小于或等于定长的点的集合叫做球，到定点的距离等于定长的点的集合叫做球面.过球面上两点的大圆在这两点间劣弧的长叫做两点的球面距离； 2.平面截球所得的截面是圆，球心与截面圆圆心连线垂直于截面圆，； 3.S球=4πR2；V球=πR3． 4.球的面积、体积及基本性质是解决有关问题的重要依据，它的轴截面图形、球半径、截面圆半径、圆心距所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要切入点. 5球是最常见的几何体.高考对球的考查主要在以下四个方面：（1）球的截面的性质；（2）球的表面积和体积；（3）球面上两点间的球面距离；（4）球与其他几何体的组合体.而且多以选择题和填空题出现. 二、点击双基 1.下列四个命题中错误的个数是（ ） ①经过球面上任意两点，可以作且只可以作一个球的大圆 ②球面积是它大圆面积的四倍 ③球面上两点的球面距离，是这两点所在截面圆上以这两点为端点的劣弧的长 A.0 B.1 C.2 D.3 2.一平面截一球得到直径为6 cm的圆面，球心到这个平面的距离是4 cm，则该球的体积是( ) A. cm3 B. cm3 C. cm3 D. cm3 3.若三球的半径之比是1∶2∶3，那么半径最大的球体积是其余两球体积和的_______倍. A.4 B.3 C.2 D.1 4.某地球仪上北纬30°纬线的长度为12π cm，该地球仪的半径是______cm，表面积是_______cm2. 如图所示， 5.长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是 A.20π B.25π C.50π D.200π 三、考点解析： 考点一：球的截面的性质 例1.已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则球心O到平面ABC的距离为（ ） A. B. C. D. 例2.已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是（ ） A. B. C.4π D. 特别提示 球的截面的性质是解决与球有关的问题的重要一环，特别是有关球的计算问题中，R2=d2+r2（R、r、d分别表示球的半径、截面圆的半径、球心到截面的距离）起着重要的作用. 考点二：球面距离 例3.把地球看作半径为R的球，A、B是北纬30°圈上的两点，它们的经度差为60°，求A、B两点间的球面距离. 例4：球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为（ ） A.4 B.2 C.2 D. 特别提示 1.本题以球为载体考查了直线的关系、解三角形等知识，将空间图形的计算转化为平面图形中求正三角形外接圆半径及勾股定理的使用，并运用方程的思想. 2.正确区别球面上两点之间的直线距离与球面距离；计算A、B两点间的球面距离关键是搞清纬度、经度、经度差、纬度差等概念，具体步骤是： （1）计算线段AB的长度； （2）计算A、B到球心O的张角； （3）计算球大圆在A、B两点间所夹的劣弧长. 考点三：球体的体积和表面积 例5：已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为（ ） (A) (B) (C) (D) 例6：已知是球表面上的点，，，，，则球的表面积等于( ) （A）4 （B）3 （C）2 （D） 附：有关线面关系的高考题 （2010湖北文数）4.用、、表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题： ①若∥，∥，则∥；②若⊥，⊥，则⊥； ③若∥，∥，则∥；④若⊥，⊥，则∥. 其中真命题的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①④ D.③④ （2010浙江文数）（6）设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是 （A）若，，则 （B）若，，则 （C）若，，则 （D）若，，则4．设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是( ) A． 　　 B． C． D． （） ①