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东南大学2006年数学分析
东南大学2006年数学分析
一、 判断题(正确的证明,否则给出反例.每小题8分,共32分)
1、在区间内连续当且仅当在区间内连续.
2、设在内可微,,且,则在之间至少存在一点,使得.
3、设在上Riemann可积,且,则必存在,使得.
4、设数项级数收敛,且使得存在,则.
二、 计算题(每小题7分,共56分)
1、求极限.
2、设函数在点的领域内二阶可导,且,试求,以及.
3、过坐标原点作曲线的切线,该切线与曲线及轴围成平面图形.
(1)求的面积;
(2)求绕直线旋转一周所得旋转体的体积.
4、计算反常积分.
5、设连续,可导,且与,求和.
6、设,求它在点处的沿方向的方向导数,并分别求出最大与最小的方向导数.
7、设,而由方程确定,求.
8、求幂级数的收敛域与和函数.
三、(10分)试证:当时,.
四、(10分)设,,.证明:
(1)数列收敛;
(2)级数收敛.
五、(10分)证明函数
在原点可微,但偏导数不连续.
六、(10分)证明为某个函数的全微分,并求它的原函数.
七、(10分)证明函数在区间内连续.
八、(12分)设光滑函数在平面上的投影为有界区域.试证:此曲面的面积为
,
其中为点的极坐标(假定曲面与平行于轴的直线的交点只有一个).
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