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中值定理在中学的应用 数学与应用数学专业 拉格朗日中值定理：若函数满足如下条件： （i）在闭区间上连续； （ii）在开区间内可导； 则在内至少存在一点，使得 . 一、证明或成立（其中） 例：（2007年高考全国卷I第20题） 设函数. （Ⅰ）证明：的导数； （Ⅱ）证明：若对所有，都有 ，则的取值范围是. （Ⅰ）略. （Ⅱ）证明：（i）当时，对任意的，都有 (ii)当时，问题即转化为对所有恒成立. 令，由拉格朗日中值定理知内至少存在一点（从而），使得，即，由于，故在上是增函数，让 得，所以的取值范围是. 评注：第(2)小题提供的参考答案用的是初等数学的方法.即令，再分和 两种情况讨论.其中，又要去解方程.但这有两个缺点：首先，为什么的取值范围要以为分界展开.其次，方程求解较为麻烦.但用拉格朗日中值定理求解就可以避开讨论，省去麻烦. 二、证明成立 例：（2004年四川卷第22题） 已知函数. （Ⅰ）求函数的最大值； （Ⅱ）设，证明：. （Ⅰ）略； （Ⅱ）证明：依题意，有 由拉格朗日中值定理得，存在，使得 评注：对于不等式中含有的形式，我们往往可以把和，分别对和两次运用拉格朗日中值定理. 三、证明成立 例： (2OO6年四川卷理第22题) 已知函数的导函数是，对任意两个不相等的正数，证明： （１）当时， （２）当时，. 证明：（１）不妨设，即证．由拉格朗日中值定理知，存在，则且 ，又， .当时，.所以是一个单调递减函数，故从而成立，因此命题获证． （２）由得，，令则由拉格朗日中值定理得： 下面只要证明：当时，任意,都有，则有，即证时，恒成立.这等价于证明的最小值大于. 由于，当且仅当时取到最小值，又，故时，恒成立. 所以由拉格朗日定理得：. 评注：这道题用初等数学的方法证明较为冗长，而且技巧性较强.因而思路较为突兀，大多数考生往往难以想到.相比之下，用拉格朗日中值定理证明，思路较为自然、流畅.体现了高观点解题的优越性，说明了学习高等数学的重要性. 四、证明或成立 例：（2008年全国卷Ⅱ22题）设函数. （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）如果对任何，都有，求的取值范围. （Ⅰ）略； （Ⅱ）证明：当时，显然对任何，都有；当时， 由拉格朗日中值定理，知存在，使得.由（Ⅰ）知，从而.令得，；令得，.所以在上，的最大值在 上，的最大值.从而函数在上的最大值是.由知，当时，的最大值为.所以，的最大值.为了使恒成立，应有.所以的取值范围是. 评注：这道题的参考答案的解法是令,再去证明函数的最小值.这与上述的思路是一样的.但首先参考答案的解法中有个参数,要对参数进行分类讨论;其次为了判断的单调性,还要求和的解,这个求解涉及到反余弦,较为复杂.而用拉格朗日中值定理就可以避开麻烦，省去讨论.再次体现了高观点解题的优越性. 五、证明成立，（其中） 例：（2007年安徽卷18题） 设. （Ⅰ）令，讨论在内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当时，恒有. （Ⅰ）略； （Ⅱ）证明：即证，由于，则.由拉格朗日中值定理得，存在，使得.由（Ⅰ）的解题过程知，所以.令得，.令得，.故在上最小值 .所以.从而.又，则成立，从而当时，成立. 评注：这道题的参考答案是用（Ⅰ）中在内的极小值得到.又，所以.从而在上单调递增,故的最小值，所以.但是如果没有（Ⅰ），很难想到利用来判断的单调性.而用拉格朗日中值定理证明，就不存在这个问题. 六、证明或（其中） 例：（2009年辽宁卷理21题） 已知函数 （Ⅰ）讨论函数的单调性； （Ⅱ）证明：若，则对任意，，有. （Ⅰ）略； （Ⅱ）.由（Ⅰ）得，.所以要证成立，即证.下面即证之. 令，则.由于，所以.从而在恒成立.也即.又，，故.则，即，也即. 评注：这道题（Ⅱ）小题存在两个难点：首先有两个变量；其次的值是变化的.参考答案的解法是考虑函数.为什么考虑函数？很多考生一下子不易想到.而且的放缩也不易想到. 参考文献 [1] 华东师范大学数学系编.数学分析（上册）[M].北京：高等教育出版社，2007 [2] 陈素贞.一道高考题的别解[J].福建中学数学，2009（4） [3] 李惟峰. 拉格朗日中值定理在中学数学中的应用[J]. 数学教学通讯，2008（8） [4] 管雪冲，王颖. 站”高”再看高考题[J]. 高等数学研究，2009（1）