习题课线性相关.pptVIP

* 第三章 几何向量 习题课 内容总结—知识网络图 几何向量 直线方程 平面方程 向量表示 向量运算 两 点 式、标 准 式 参 数 式、一般式 加 法、数乘（伸缩） 数量积：两向量垂直数量积为0 向量积：两向量平行 向量积为0 混合积：三向量共面 混合积为0 点 法 式、三 点 式、截 距 式、一般式、平面束 位置关系 平面与平面 直线与平面 直线与直线 相交→垂直 平行(距离？)→共面 平行(距离？)→共线 相交→垂直 异面→公垂线(距离？) 几何表示 坐标表示←空间直角坐标系 夹角 夹角 距离 点-点、点-线、点-面 典 型 题 与 反向,且 与 同向,且 与 同向 判断下列等式何时成立 例1 解 例2 证明 共线. 与 证 所以 共线. 与 例3 求直线 上的投影直线 的方程. ,在平面 解 过L的平面束为 如何求两条异面直线L1, L2公垂线方程? (3) 过 与L1的交点Q0, 以s1?s2为方向向量. L2 L1 s1?s2 P0 Q0 ? ? 公垂线是下面两个平面的交线 (2) 过 与L2的交点P0, 以s1?s2为方向向量. 异面直线公垂线方程 求下面两条异面直线的公垂线方程 解 例4 同理得 例5 直线L过点 相交,求L的方程.(M不在异面直线上） 且与异面直线 解1 求过L1与 确定的平面 求过 L2与 确定的平面 注 此题已经认为所求的相交直线存在. 解2 L过点 设 L与L1,L2都相交, ∥ ∥ 则有 故 解3 L 过点 设 L与L1,L2的交点分别为 参数方程为 取 故 《线性代数与空间解析几何》 第十三讲 哈工大数学系代数与几何教研室 王 宝 玲 * 第四章 n维向量 n维向量可以看作是平面上2维向量, 空间中3 维向量的推广. 引 言 本章是学好线性代数的关键,也是 学习线性代数的难点.尤其是线性相关 和线性无关的概念,难以理解掌握,容易 犯概念性错误.一定要结合例题,多动脑 勤思考. * n维向量的概念及线性运算 向量组的线性关系* 向量组的极大无关组与秩 向量空间 欧式空间 本章的主要内容 * 4.1.1 n维向量的定义 4.1 n维向量的概念及其线性运算 定义 数域F 内的n个数a1,a2 ,…,an组成的 有序数组称为数域F 上的 n维向量, 记作 或 其中ai称为向量的第i个分量. 行向量 列向量 复向量、实向量、Rn实向量全体,除非特别声 明,我们只在实数域上讨论实向量. * 矩阵 有3个行向量: 有4个列向量: 例1 ? 如果向量的所有分量都是0, 就称其为 零向量, 记作 * ? 向量可以看作是特殊的矩阵.从下面 关于向量的相等以及向量的线性运算 (加法和数乘运算)可以看出向量的线 性运算与矩阵相应运算的一致性. 定义 设有两个n 维向量: 和一个实数 k?R, 则定义: 4.1.2 n维向量的线性运算 * (交换律) (结合律) (分配律) (分配律) 对任何n维向量 ?, ?, ? 及任意实数 k, l, 向量的加法及数乘向量这两个运算 满足下列的八条性质: * 4.2 线性相关与线性无关 * 4.2.1 线性相关与线性无关的定义 定义 则称?是?1,?2,…,?m的一个线性组合, 也称 ? 可由?1,?2,…,?m线性表示. k1,k2,…,km称为表示系数或组合系数. 对于n维向量?,?1,?2,…, ?m ,若存在 一组数 k1,k2,…,km, 使得 ? =k1?1+k2?2+…+km?m 1.线性组合,线性表示 设 试将向量? 用向量? 与? 线性表示. 解 由观察可知 即 例2 * 又设 *