二次方程根的分布和二次函数在闭区间上的最值归纳.docVIP

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 1、一元二次方程根的分布情况 设方程的不等两根为且，相应的二次函数为，方程的根即为二次函数图象与轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） 分布情况 两个负根即两根都小于0 两个正根即两根都大于0 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0 大致图象（） 得出的结论 大致图象（） 得出的结论 综合结论（不讨论） 表二：（两根与的大小比较） 分布情况 两根都小于即 两根都大于即 一个根小于，一个大于即 大致图象（） 得出的结论 大致图象（） 得出的结论 综合结论（不讨论） 表三：（根在区间上的分布） 分布情况 两根都在内 两根有且仅有一根在内 （图象有两种情况，只画了一种） 一根在内，另一根在内， 大致图象（） 得出的结论 或 大致图象（） 得出的结论 或 综合结论（不讨论） —————— 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间外，即在区间两侧，（图形分别如下）需满足的条件是 （1）时，； （2）时， 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在内有以下特殊情况： 若或，则此时不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为或，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间内，从而可以求出参数的值。如方程在区间上有一根，因为，所以，另一根为，由得即为所求； 方程有且只有一根，且这个根在区间内，即，此时由可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程有且一根在区间内，求的取值范围。分析：①由即得出；②由即得出或，当时，根，即满足题意；当时，根，故不满足题意；综上分析，得出或 根的分布练习题 例1、已知二次方程有一正根和一负根，求实数的取值范围。 解：由 即 ，从而得即为所求的范围。 例2、已知方程有两个不等正实根，求实数的取值范围。 解：由 或即为所求的范围。 例3、已知二次函数与轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数的取值范围。 解：由 即 即为所求的范围。 例4、已知二次方程只有一个正根且这个根小于1，求实数的取值范围。 解：由题意有方程在区间上只有一个正根，则 即为所求范围。 （注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在内，由计算检验，均不复合题意，计算量稍大）2、二次函数在闭区间上的最大、最小值问题探讨 设，则二次函数在闭区间上的最大、最小值有如下的分布情况： 即 图象 最大、最小值 对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论： （1）若，则，； （2）若，则， 另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开对称轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开对称轴轴越远，则对应的函数值越小。 二次函数在闭区间上的最值练习 二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方面入手：开口方向、对称轴以及闭区间，以下三个例题各代表一种情况。 例1、函数在上有最大值5和最小值2，求的值。 解：对称轴，故函数在区间上单调。 （1）当时，函数在区间上是增函数，故 ； （2）当时，函数在区间上是减函数，故 例2、求函数的最小值。 解：对称轴 （1）当时，； （2）当时，； （3）当时， 改：1．本题若修改为求函数的最大值，过程又如何？ 解：（1）当时，； （2）当时，。 2．本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样进行？ 解：（1）当时，，； （2）当时， ，； （3）当时，，； （4）当时， ，。 例3、求函数在区间上的最小值。 解：对称轴 （1）当即时，； （2）当即时，； （3）当即时， 例4、讨论函数的最小值。 解：，这个函数是一个分段函数，由于上下两段上的对称轴分别为直线，，当，，时原函数的图象分别如下（1），（2），（3） 因此，（1）当时，； （2）当时，； （3）当时，