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信号的谱表示
第四章:信号的谱表示
§4.1 上的傅里叶变换(《信号与系统》第二版(郑君里)3.1,3.2,是上绝对可积函数的全体。
Dirichlet条件:对
A.,即;
B.在上有有限个极大值、极小值;
C.在上有有限个第一类间断点。
注:Dirichlet条件是充分条件;A保证傅里叶系数有限,B、C保证Riemann可积。
三角函数形式的傅里叶级数:
三角函数集:
是上完备正交集,,T为基波的周期,
三角函数形式的傅里叶级数:
对,的傅里叶级数为:
, (4-1) 其中:
(4-2) 为傅里叶系数。
注:即高次方可积函数是低次方可积函数的子空间。
变形
(4-3) 其中:
,,
, (4-4)
图 4-1
注:1)或或是的函数,。
物理意义:第n次谐波的幅度。
2)为第n次谐波的相位。
3)为直流分量。
4)周期信号的频谱只会在等离散频率点上,这种频谱称为离散谱。
图4-2
指数形式的傅里叶级数:
是上完备正交集,。,
(4-5) 对,有,
, (4-6) 其中:
(4-7) 注:负频率的引入完全由完备性决定。
易知:
(4-8) ,。
一般为的复变函数,是离散的,间隔为。
,和均为的函数。
:的幅度谱(线谱),
:的相位谱(线谱)。
利用,
可导出:
,
,
,
(4-9) 傅里叶级数(Fourier Series——F.S.)使用范围:
可展成傅里叶级数:
即: (4-10) 由上式可知,t((t0, t0+T)区间与t((t0+T, t0+2T)的F.S.展开式对应相等。
即,若将以为周期进行延拓,所得周期信号的F.S.与上式相同:
,
, (4-11) 可见,对于有限开区间t((t0, t0+T)上的函数作F.S.展开的(4-10)和(4-11)式表明,这种F.S.展开,不但在该有限开区间上成立,而且在区间以外的t((((,()上成立,且收敛于信号在展开区间部分的周期延拓。
上述这段文字描述,是理解一个信号F.S.展开的关键!
如果信号本身就是周期的,且在一个周期内绝对可积,则必然可以作傅里叶级数展开。形式如(4-11)所示。
周期信号:
, (4-12) 主周期为:
(4-13) 函数的对称性与F.S.的定性性质:
(4-14) 为偶函数:
(4-15) 的傅里叶级数只含有直流和余弦分量。
为奇函数:
(4-16) 的傅里叶级数只含有正弦分量。
为奇谐函数:
(4-17) 的傅里叶级数只含有奇次正余弦分量(奇次谐波)。
证明:
为偶谐函数:
(4-18) 的傅里叶级数只含有偶次正余弦分量(偶次谐波)。
Parseval定理(内积不变性):
定理(Parseval):对,则
(4-19) 能量定理:对,有
(4-20) 均方收敛性(依范数收敛,强收敛):
定理(均方收敛):对,则
(4-21) 其中:,为逼近误差,
,为均方误差。
注:1) 在个别点,甚至零测度集上不收敛不影响均方收敛性。
2) 2N+1项F.S.方差最小均方最小。
可F.S.展开的充分条件:
可F.S.展开是指:。
定理(可F.S.展开的充分条件):若,则。
证明:,
,
。
推论:若,则。
原因是,。
Gibbs现象:若用F.S.逼近f(t),在间断点处不收敛,且在间断点的邻域内出现减幅震荡的奇异现象,震荡的第一峰最大,峰起值约为间断点处跳变的9%。这种现象称为吉布斯(Gibbs)现象。
图4-3
§4.2 典型周期信号的谱(《信号与系统》第二版(郑君里)3.3)
周期矩形脉冲信号:
, (4-22)
图4-4
,
,
(4-23)
图4-5
图4-6
注:1) 的频谱为可列的无穷多条线谱;
2) 谱线间隔为;分析时间加长,谱分辨率提高。
3) 线谱包络:;
4) 0到第一零点之间谱线个数:
, (表示对 ? 取整)。
§4.3 上的函数的傅里叶变换
(《信号与系统》第二版(郑君里)3.4,3.5,3.6)
问题的提出:
考虑:令,,则,则,谱线间隔:,
此时,信号由周期信号变为非周期信号,其频谱由离散谱变为连续谱。
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