共线向量基本关系.docVIP

共线向量基本关系 中线长公式： 点D是边BC的中点，则 ，则点P是重心 若，则 平面上任意一点O，求证：平面上A、B、C共线的充要条件是存在实数使 ，且 . 设A,B,C三点共线，则可设= t (t(R)，则=+=+ t=+ t(() = (1(t)+ t. 令1(t =λ，t = μ，则有：=λ+ μ，且λ+ μ = 1 充分性： 因为=λ+ μ，所以，=(=λ+ μ( =(λ(1)+ μ = (μ+ μ= μ(() = μ ∴三点A、B、C共线 例1：中，，，点D在AC上，，，求的长及的面积. 因为 ，所以 ， 所以，解得 ， 例:2：如图四边形ABCD中，AB=AD=4，BC=6，CD=2，，求PA+PC的取值范围. 解：（1）因为 ，所以，即.因此 ，所以.（考虑到3）， 在△ABC中，， 在△ACD中，， 所以 ，所以 . 所以. （2）由（1）知，又，所以 . （3）由（1）和（2）知点P在三角形ABC的外接圆上，设，则，且 ，，所以 = = 因为 ，，所以 .