关于空间的定义与命题.docVIP

第二章 关于空间的定义与命题 定义2-1 线段 线段是物体的一种可视觉或可触觉现象。是物体的一种构成属性。 用符号表示为：LSi-Ei或lSi-Ei 。 其含意为：两个端点分别为Si和Ei的第i条线段。 由线段LS1-E1、LS2-E2…LSn-En构成的线段集合用符号表示为：｛LSi-Ei｝； 由线段lS1-E1、lS2-E2…lSn-En构成的线段集合用符号表示为：｛lSi-Ei｝； 由线段LS1-E1、LS2-E2…LSn-En和lS1-E1、lS2-E2 …lSn-En构成的线段集合则用符号表示为：｛LSi-EilSi-Ei｝。 因此，｛LSi-Ei｝和｛lSi-Ei｝均为｛LSi-EilSi-Ei｝的子集。可用公式表示为：｛LSiEi｝(｛LSi-EilSi-Ei｝及｛lSi-Ei｝(｛LSi-EilSi-Ei｝。 线段通常有如下两种可直接感知的特性：其一，每条线段都有两个端点。其二，每条线段都能与一条膨紧的细线完全重合。或者说，我们总能找到一个方向使得沿这一方向看过去该线段呈现为一个点。 虽然，欧几里德在《原理》中也使用了某些物理概念来对其关于直线和平面等基本概念的定义加以适当的解释。但是，无论是欧几里德本人还是及其追随者却都认为：此种做法是不必要的，甚至是完全应当加以避免的。因为，在他们看来，似乎只有如此才能保持所谓数学的纯洁与严密。然而无论是数学本身、还是物理学经过飞速发展之后所已经达到的那种精确与严密的水准都说明，任何想要通过使数学独立于自然的客体世界之外的方式来保持所谓数学的纯洁和严密的企图是没有根据的、也是不可能的。 定义2-2 重合操作 重合操作是指进行在任意两条给定线段LS1-E1与LS2-E2之间的一种操作过程，其具体步骤为：移动线段LS1-E1使其两个端点S1和E1分别与线段LS2-E2上的某两点X2和Y2重合、或着使LS2-E2的两个端点S2和E2分别与线段LS1-E1上的某两点X1和Y1重合。 虽然,一根又细又直的树枝或一段绷紧的细线都可被看成是一条线段并被用于重合操作。但是，树枝或细线只是被我们有意忽略了其他构成属性仅表现出“线段”这一构成属性的物体。因此, 重合操作实际上是在两个都具有”线段”这一构成属性的物体之间进行的。 定义2-3 线段之间的重合关系 线段LS1-E1与线段LS2-E2完全重合。记作: LS1-E1≡ LS2-E2 。 其含义是： 若：在LS1-E1与LS2-E2之间进行重合操作时， 当：LS1E1的一个端点S1与LS2-E2的一个端点S2重合时 则：E1和E2重合。 如果在任意两条给定线段LS1-E1与LS2-E2之间进行的每一次重合操作都可使LS1-E1与LS2-E2表现出相同的重合关系：LS1-E1≡ LS2-E2 。那么，我们便称这两条线段对于重合操作所表现出的重合关系是稳定不变的。 并且，由于线段之间对于重合操作所表现出稳定不变的重合关系这一事实是自然界中的并非个别的和偶然的一种普遍现象。因此，凡无特别指明，以后所涉及的各种重合关系均为稳定不变的。这也将是下述所有有关重合关系之命题的前提条件。 命题2-3-1 若：LS1-E1与LS1-E1完全重合， 即：LS1-E1≡LS2-E2 则：对于LS1-E1上的每一个点Xi都有LS2-E2上的一个点Yi与Xi重合。 命题2-3-2 若：LS1-E1≡ LS2-E2且：LS2-E2≡ LS3-E3 则：LS1-E1≡ LS3-E3 即：线段与线段之间的完全重合关系是一种可传递关系。 命题2-3-3 若：LS1E1≡ LS2-E2 则：LS2-E2≡ LS1-E1 即：线段与线段之间的完全重合关系是一种对称关系。 、线段LS1-E1与线段LS2-E2部分重合。记作: LS1-E1LS2-E2其含义 是： 若：在LS1-E1与LS2-E2之间进行重合操作时， 当：LS1-E1的端点S1与LS2-E2的端点S2重合时 则：LS1-E1的端点E1必与LS2-E2上的介于S2和E2之间的某一点Y2 重合。 据此定义有如下命题成立： 命题2-3-4 若：LS1-E1LS2-E2 且：LS2-E2LS3-E3 则：LS1-E1LS3-E3 即：线段LS1-E1 与线段LS2-E2部分重合是一种可传递关系。 命题2-3-5 若：LS1-E1LS2-E2 则：LS2-E2 ≮LS1-E1 即：线段LS1-E1与线段LS2-E2部分重是一种非对称关系。 命题2-3-6 若：LS1E1≡ LS2E2 且：LS2E2LS3E3 则：LS1E1LS3E3 ⑶、线段LS1-E1与线段LS2-E2