初一数学竞赛(行程问题精讲).docVIP

例1 从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路。一辆汽车上坡时每小时行驶20千米，下坡时每小时行驶35千米，。车从甲地开往乙地需9小时，乙地开往甲地需小时，问：甲、乙两地间的公路有多少千米？从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？(第五届华杯赛复赛题) 分析 本题用方程来解简单自然。 解 设从甲地到乙地的上坡路为x千米，下坡路为y千米，根据题意得方程组 解这个方程组有很多种方法。例如代入消元法、加减消元法等。由于方程组系数比较特殊(第一个方程中x的系数恰好是第二个方程中y的系数，而y的系数也恰好是第二个方程中x的系数)，也可以采用如下的解法： (1)+(2)得 (x+y)( +)=9+ 所以 x+y= (3) (1)-(2)得 (x-y)( -)=9- 所以 x-y= (4) 由(3)、(4)得 x= 所以甲、乙两地间的公路长210千米，从甲地到乙地须行驶140千米的上坡路。 例2 公共汽车每隔x分钟发车一次，小宏在大街上行走，发现从背后每隔6分钟开过来一辆公共汽车，而每隔分钟迎面开来一辆公共汽车。如果公共汽车与小宏行进的速度都是均匀的，则x等于 分钟。(第六届迎春杯初赛试题) 分析：此题包括了行程问题中的相遇与追及两种情况。若设汽车速度为a米/每秒，小宏速度为b米/每秒，则当一辆汽车追上小宏时，另一辆汽车在小宏后面ax米处，它用6分钟追上小宏。另一方面，当一辆汽车与小宏相遇时，另一辆汽车在小宏前面ax米处，它经过分钟与小宏相遇。由此可列出两个方程。 解：设汽车速度为a米/每秒，小宏速度为b米/每秒，根据题意得 两式相减得 12a=72b 即a=6b 代入可得x=5 评注：行程问题常分为同向运动和相向运动两种，相遇问题就是相向运动，而追及问题就是同向运动。解这类问题分析时往往要结合题意画出示意图，以便帮助我们直观、形象地理解题意。 例3 摄制组从A市到B市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到C市吃午饭。由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息。司机说，再走从C市到这里路程的二分之一就到达目的地了。问A、B两市相距多少千米？(第五届华杯赛决赛试题) 分析：本题条件中只有路程，没有时间和速度，因而应当仔细分析各段路程之间的关系。 解：如图，设小镇为D，傍晚 汽车在E 休息 A D C E B 由已知， AD是AC的三分之一，也就是AD =DC 又由已知，EB=CE 两式相加得：AD+ EB=DE 因为DE=400千米，所以AD+ EB=(400=200千米， 从而A、B两市相距400+200=600千米 评注：行程问题常通过画行程示意图来帮助我们思考。 例4 有编号为①、②、③的3条赛艇，其在静水中的速度依次为每小时v1、v2、v3千米，且满足v1 v2 v3 v 0，其中v为河流的水流速度。它们在河流上进行追逐赛，规则如下： (1) 3条赛艇在同一起跑线上同时出发，逆流而上，在出发的同时，有一浮标顺流而下； (2) 经过1小时，①、②、③号赛艇同时掉头，追赶浮标，谁先追上谁为冠军。 在整个比赛期间各艇的速度保持不变，则比赛的冠军为 解：经过1小时，①、②、③号赛艇同时掉头，掉头时，各艇与浮标的距离为： S i=(vi-v)(1+v(1= vi (1(i=1、2、3) 第i号赛艇追上浮标的时间为：(小时) 由此可见，掉头后各走1小时，同时追上浮标，所以3条赛艇并列冠军。 评注：顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度-水流速度。 例5在一环行轨道上有三枚弹子同时沿逆时针方向运动。已知甲于第10秒钟时追上乙，在第30秒时追上丙，第60秒时甲再次追上乙，并且在第70秒时再次追上丙，问乙追上丙用了多少时间？(第11届希望杯竞赛培训题) 解：设甲的运动速度是 乙的运动速度是，丙的运动速度是．设环形轨道长为L。甲比乙多运动一圈用时50秒，故有－＝ ① 甲比丙多运动一圈用时40秒，故有－＝ ② ②－①可得到－＝－＝ ③ ④ ⑤ 甲、乙、丙初始位置时，乙、丙之间的距离＝甲、丙之间距离－甲、乙之间距离 ＝（－）×30－（ －）×10； 乙追上丙所用时间＝ ＝秒．所以第