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初中数学竞赛专题选讲三点共线
初中数学竞赛专题选讲
三点共线
一、内容提要
要证明A,B,C三点在同一直线上, A。 B。 C。
常用方法有:①连结AB,BC证明∠ABC是平角
②连结AB,AC证明AB,AC重合
③连结AB,BC,AC证明 AB+BC=AC
④连结并延长AB证明延长线经过点C
证明三点共线常用的定理有:
过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行
经过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半
梯形中位线平行于两底并且等于两底和的一半
两圆相切,切点在连心线上
轴对称图形中,若对应线段(或延长线)相交,则交点在对称轴上
二、例题
例1.已知:梯形ABCD中,AB∥CD,点P是形内的任一点,PM⊥AB,
PN⊥CD
求证:M,N,P三点在同一直线上
证明:过点P作EF∥AB,
∵AB∥CD,∴EF∥CD
∠1+∠2=180,∠3+∠4=180
∵PM⊥AB,PN⊥CD
∴∠1=90,∠3=90 ∴∠1+∠3=180
∴ M,N,P三点在同一直线上
例2.求证:平行四边形一组对边的中点和两条对角线的交点,三点在同一直线上
已知:平行四边形ABCD中,M,N分别是AD和BC的中点,O是AC和BD的交点
求证:M,O,N三点在同一直线上
证明一:连结MO,NO
∵MO,NO分别是△DAB和△CAB的中位线
∴MO∥AB,NO∥AB
根据过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行
∴ M,O,N三点在同一直线上
证明二:连结MO并延长交BC于N,
∵MO是△DAB的中位线
∴MO∥AB
在△CAB中
∵AO=OC,ON,∥AB
∴BN,=N,C,即N,是BC的中点
∵N也是BC的中点,
∴点N,和点N重合
∴ M,O,N三点在同一直线上
例3.已知:梯形ABCD中,AB∥CD,∠A+∠B=90,M,N分别是AB和CD的中点,BC,AD的延长线相交于P
求证:M,N,P三点在同一直线上
证明:∵∠A+∠B=90,
∠APB=Rt∠
连结PM,PN
根据直角三角形斜边中线性质
PM=MA=MB,PN=DN=DC
∴∠MPB=∠B,∠NPC=∠B
∴PM和PN重合
∴M,N,P三点在同一直线上
例4.在平面直角坐标系中,点A关于横轴的对称点为B,关于纵轴的对称点是C,求证B和C是关于原点O的对称点 Y
解:连结OA,OB,OC
∵A,B关于X轴对称, C A
∴OA=OB,∠AOX=∠BOX
同理OC=OA,∠AOY=∠COY
∴∠COY+∠BOX=90 O X
∴B,O,C 三点在同一直线上
∵OB=OC
∴ B和C是关于原点O的对称点 B
例5.已知:⊙O1和⊙O2相交于A,B两点,过点B的直线EF分别交⊙O1和⊙O2于E,F。
求证:AE
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