判定H矩阵的一个迭代算法的修正翻译.docVIP

判定H-矩阵的一个迭代算法的修正* 李耀堂， 张 讯 (云南大学 数学系， 云南 昆明 650091) 摘要:随着H 一 矩阵在科学与工程计算中的广泛应用， 如何判定一个给定矩阵是否为H 一 矩阵引起了 许多研究者的兴趣.本文对一个现有判定H 一 矩阵的迭代算法进行了修正， 得到了一个新的迭代算法.数值算例表明该算法是有效的. 关键词:H-矩阵;对角占优矩阵;迭代算法 令表示所有矩阵, .的比较矩阵定义如下： 如果是M-矩阵,那么矩阵是H-矩阵.众所周知H-矩阵通常称作广义对角占优矩阵(GDDM).那就是,存在一正对角矩阵使得为严格对角占优矩阵（SDDM）. 一类H-矩阵是在工程和科学计算中具有广泛应用的一类矩阵.许多迭代算法求解线性方程是收敛的如果系数矩阵是H-矩阵.因此,如何判断一个给定的矩阵是H-矩阵在以上研究领域起着重要作用.在文章[2]—[6],一些研究者给出了一些方法来确定H-矩阵.尽管这类方法有很多种，但是它们都来源于一个事实:试着去寻找一个正对角矩阵使得为严格对角占优矩阵.本文的方法也是基于这一点.做为改性的方法，我们从两对角占优行和非对角占优行入手.这在之前的学习研究中被忽略. 1、H-矩阵的一些引理 为了不失一般性,令为一个不可约矩阵,在本文中,我们使用以下符号: ; ; ; ; ; 为了不产生歧义,我们用表示,表示,表示,表示.显然, ,,,. 引理1 令为H-矩阵, . 引理2 令为H-矩阵, . 引理3 令为H-矩阵, . 引理4 令为H-矩阵, 是一个正对角矩阵,当且仅当为H-矩阵时为H-矩阵. 引理4指出了和具有同一属性的对角优势.我们的任务是确定一个正对角矩阵使得为严格对角占优矩阵. 2、迭代标准矩阵 算法A 输入矩阵,如果，此时不是H-矩阵,停止并且输出“ 不是H-矩阵!”; 如果,此时不是H-矩阵, 停止并且输出“不是H-矩 阵!”；如果,此时是H-矩阵, 停止并且输出“是H-矩阵!”. 令 显然, ,,(当时可约),现取,这时,使,这里. (4) 计算,回到(2) 算法A是从对角占优行开始,找到一个正对角矩阵使得为严格对角占优矩阵.显然,如果这个算法终止在有限迭代次数,这时我们可以得到一个明确的结论: 时A是一个H-矩阵,或者说时A不是H-矩阵. 用表示k重正对角矩阵, 表示k重生成矩阵,通常的, . 引理5 在算法A中, . 证明 一般情况下,当为一重正对角矩阵时，我们只需证明. 令,. , , . 那就是，即. 引理5指出,在算法A中, 的对角占优行数随迭代次数的增加而增加.所以经过有限次迭代,我们可以得到一个正对角矩阵,当为H-矩阵时, 为严格对角占优矩阵.但是这里有两个问题需要解答:首先,如果不是H-矩阵会怎么样;第二,算法什么时候终止?这些问题会在我们给出我们的改进算法后得到解答. 算法B (1) 输入矩阵,如果或者，此时不是H-矩阵,停止并且输出“不是H-矩阵!”; (2) 令,,; (3) 如果,此时是H-矩阵,停止并且输出“是H-矩阵!”; (4) 令 选取,这时, 规定,这里 （5） 使,回到(3). 注意:很显然.这说明对所有,输入,减少速度比其他的要快.尽管的对角元素的非对角占优行在减少,但输入的其他的在同一行的减少比也同样如此甚至比这更多. 3、算法的定理证明 定理1 算法B中 (i) ; (ii) . 证明 为了完成证明,我们列举三个例子. 令,这时,并且, . 所以= 那么,那就是说.结论(i)得证. 2) 令,这时且.那么有 . 因为且, 因此 因为且,因此,并且 . 令,此时.那么有 . 因为且.此时 . 从2)和3)中,我们得出了(ii)的结论 综上所述,我们可以得到明确的结论;算法A和B都能保持矩阵的对角占优性.但是,作为一个改性方法,算法B能同时处理对角占优和非对角占优列,于是我们可以我们可以说如果矩阵没有对角占优行,那么算法B的收敛速度比算法A更快. 定理2 算法B在有限的迭代终止或产生一种独特的无限序列对所有都有. 证明 通过定理1我们知道在算法B中