利用导数研究函数的极值和最值(理).docVIP

§3.3 利用导数研究函数的极值和最值 知识要点梳理 一.函数的极值 1.函数极值定义 一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点。 如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点。极大值与极小值统称为极值 2. 判别f(x0)是极大、极小值的方法: 若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值. 3. 求可导函数f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f′(x) (2)求方程f′(x)=0的根 (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值 二. 函数的最大值与最小值 1. 函数的最大值与最小值： 在闭区间上图像连续不断的函数在上必有最大值与最小值． 2.利用导数求函数的最值步骤: 设函数在在（a,b）内可导，在闭区间上图像连续不断，求函数在上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求在内的极值； ⑵将的各极值与、比较，得出函数在上的最值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。 疑难点、易错点剖析 1由极值的定义可知，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。此外请注意以下几点： （ⅰ）极值是一个局部概念。由定义可知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 （ⅱ）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个 （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，是极大值点，是极小值点，而 （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 （V）可导函数的极值点的导数为0，但是导数为0的点不一定是极值点，如函数y=x3在x=0处导数为0，但x=0不是极值点。 （Vi）函数在一点x0处有极值，不一定在该点可导。如函数y=|x| 在x=0有极小值，但在x=0处不可导即导数不存在。 2.对于函数的最值问题，应注意以下几点： （1）在闭区间上图像连续不断的函数在上必有最大值与最小值． （2）在开区间内图像连续的函数不一定有最大值与最小值．如函数在内连续，但没有最大值与最小值； （3）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；而函数的极值是比较极值点附近函数值得出的． （4）函数在闭区间上的图像连续不断，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．如函数在上有最大值，最小值，（最大值是0，最小值是-2），但其图像却不是连续不断的（如右图）。 (5)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个。 （6）若函数f(x)只有一个极值，则必为最值。若函数f(x)在闭区间[a,b]上递增，则，；若函数f(x)在闭区间[a,b]上递减，则，。 直击考点 考点一 求含字母参数的函数的极值 考例1.（06安徽卷）设函数，已知是奇函数。 （Ⅰ）求、的值。 （Ⅱ）求的单调区间与极值。 思路分析：先求出,再利用奇函数定义即可求出b,c的值，再利用导数这一工具，可求出函数的单调区间及极值 解析：（Ⅰ）∵，∴。从而＝是一个奇函数，所以得，由奇函数定义得； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而，令=0，解得，由，由此可知， 函数的单调递增区间是和；单调递减区间是； 进而得在时，取得极大值，极大值为，在时，取得极小值，极小值为。 锦囊妙计：熟练掌握利用导数这一有效工具求函数的单调区间、极值、最值，力求解答思路顺畅，思维严谨，书写规范。 举一反三：(2005年全国高考题)设a为实数,函数 (Ⅰ)求. (Ⅱ)当a在什么范围内取值时,曲线. 解：(I)=3－2－1 若=0，则==－，=1 当变化时，，变化情况如下表： (－∞，－) － (－，1) 1 (1，+∞) + 0 － 0 + 极大值 极小值 ∴的极大值是，极小值是 (II)函数 由此可知，取足够大的正数时，有0，取足够小的负数时有0，所以曲线=与轴至少有一个交点 结合的单调性可知： 当的极大值0，即时，它的极小值也小于0，因此