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利用数轴帮助解决“圆与线段交点个数问题” 利用数轴帮助解决“圆与线段交点个数问题”—2015年金山区数学一模卷压轴题解析（下） 在处理与圆有关的位置关系时的一般方法就是转化“位置关系”为“数量关系”，在具体操作时可以考虑从边界入手、区分不同状态进行分类讨论，但实际上由于学生大多缺乏对于较复杂动态问题的想象能力，所以这类问题一般都会给学生带来很大的困扰，而今天我就提供一种实用方法帮助大家度过难关！ 下图大家应该比较熟悉，当初学习圆圆位置关系时，教师为了帮助同学理解圆圆位置关系所绘制的“数轴”，在该“数轴”上一旦确定了内切、外切时未知数所对应的点，即可区分其他位置状态，即内外切中间是相交，两边是内含或外离，其实在处理圆与线段交点个数问题时也可借助这样的方法，下文即以2015年金山区数学一模卷压轴题解析第三问为例，介绍方法、揭示缘由。 第一步：确定边界，对于圆与线段交点个数问题而言，边界就是圆E过点A、C（线段的两个端点）和圆E与边AC相切 第二步：画数轴，标注关键点，这些关键点是“x的取值范围、圆E过线段的两个端点、圆E与线段相切” 大家看很实用吧，我们再通过一个最简单的实例操练一下 例：如图，已知Rt△ABC中∠C=90°，AC=3，BC=4，设圆C的半径为r，试讨论圆C与斜边AB的公共点个数并写出r的取值范围 第一步：确定边界，圆C过点A，r=3；圆C过点B，r=4；圆C与直线AB相切，r=2.4 第二步：画数轴，标注关键点，如下图 大家看是否很方便？当然我们学习要知其然，知其所以然，这样做的依据是什么？这样做有什么注意点？首先之所以这么做有一个重要的前提是，圆与线段所在直线的切点在线段上，（如果不在该线段上，其实讨论起来反而更简单，在此就不做说明了），在此基础上有一个很重要的规律就是相切时未知数在数轴上的位置一定在圆经过线段两端点时未知数在数轴上的位置的左或右，不会在中间，理由是相切一定是线段与圆“无公共点”与“两个公共点”的界点，所以也就可以理解在相切时未知数在数轴上的位置的左右一般一段是线段与圆无交点、另一段线段与圆有两个交点，接着我们知道三个关键点把原有的未知数取值范围分割成四段，一般而言一前一后两段中有一段的边界是相切时未知数在数轴上的位置，而后圆越来越小与线段自然没有公共点，而另一段一般就是圆越来越大，线段完全在圆内自然也没有公共点，剩下最后一段就是线段与圆只有一个公共点。 这样做法的注意点是等号的取舍，我认为学生理解这种做法的原理理后自然就记住了规律，而等号的问题只要单独思考一下究竟这个点属于哪一种情况即可，虽也有一定规律但没有必要再去记忆。 而这个规律的教学意义在于，第一、帮助同学迅速克服难点；第二、进一步意识到变化虽是一个过程，但边界却是质变到量变的关键，几乎所有动态问题均由边界入手；第三、利用数轴就是在运用数形结合的思想，而如果这个规律是教师和学生在课堂上共同摸索、总结而出就更妙了。