动力计算第五讲.pptVIP

* §12-6 多自由度体系的自由振动 两个自由度体系的自由振动 二 多自由度体系的自由振动 1、振动方程的建立 两个自由度体系的自由振动 （一）刚度法 m1 m2 y1(t) y2(t) m1 m2 S2 S1 S2’ S1’ y1(t) y2(t) 1 1 两自由度体系自由振动微分方程 k i j表示在j点产生单位位移（i点位移为零）时在i点所需施加的力。－－结构的刚度影响系数。 设解为 当然 X(1)=X(2)=0 为其解，为了求得不全为零的解，令 特征方程 频率方程 1）在振动过程中，两个质点具有相同的频率和相同的相位角； 2）在振动过程中，两个质点的位移在数值上随时间而变化，但其比值始终保持不变。 * 2 频率的确定 确定 X(1) X(2) 的方程 对应于这两个频率，可以分别得到两组解： 最小圆频率称为第一(基本)圆频率： 第二圆频率------- 3 主振型 （2）按主振型振动的条件： 初位移或初速度与此振型相对应； m1 m2 X1(2) X1(1) X2(1) X2(2) 由此可见： （1）多自由度体系如果按某个主振型自由振动，其振动形式保持不变，此时，多自由度体系实际上是像一个单自由度体系在振动(一个坐标即可表示所有质点位置）。 实际上，多自由度体系在零时刻的y0或vo通常不能完全与某一振型相对应。 振动过程中，结构位移形状保持不变的振动形式，称为主振型。 第一主振型 第二主振型 例1：设图示刚架横梁刚度为无限大，层间侧移刚度分别为k1和 k2 ，试求刚架水平振动时的自由振动频率和主振型。 m1 m2 k1 k2 解：（1）求频率方程中的刚度系数 1 1 k11=k1+k2 k12=k21=-k2 k22=k2 （3）一般振动 两自由度体系自由振动是两种频率及其主振型的线性 多自由度体系自由振动的振型分解 （3）求主振型 1.618 1.0 1.0 0.618 第1振型 第2振型 （2）求频率 k11=k1+k2 k12=k21=-k2 k22=k2 代频率方程 若有 （3）求主振型 若有 若 n=90 则第一振型和第二振型分别为： 可见当顶端质点的质量和刚度很小时，顶端水平侧移很大。 建筑结构抗震设计中，将这种因顶端质点质量和刚度突变，而导致顶端巨大反应的现象，称为鞭梢效应。 如：屋顶消防水池、女儿墙或屋顶建筑物等。 2、 柔度法 m1 m2 y1(t) y2(t) 此时惯性力 惯性力幅值 主振型的位移幅值等于主振型惯性力幅值作用下产生的静力位移。 m1 m2 δ11 δ21 =1 m1 m2 δ12 δ22 =1 在自由振动过程中任意时刻t，质量m1、m2的位移y1(t)、y2(t)应当等于体系在当时惯性力作用下的静力位移。 δijj点受单位力作用时i点产生的位移－－－柔度影响系数 设解为 m1 m2 X1 X2 令 主振型 频率方程 ** 当然解 X1=X2=0， 为了求得不全为零的解，令 例2.求图示体系的频率、振型 解 则有： 依据公式 可求： ** 1 1 1 1 第一振型 第二振型 对称体系的振型分 成两组: 一组为对称振型 一组为反对称振型 0.5a 例3. 试求图示梁的自振频率和主振型，梁的EI已知。 1 2 a a a m m 解：（1）计算频率 1 a 1 （2）振型 1 0.277 1 3.61 第一振型 第二振型 二 多个自由度体系的自由振动 1 运动方程的建立 于是： 写为矩阵形式： n自由度体系作自由振动的运动方程 其中： 对角矩阵，若一个质点上由两个位移yi yi+1 则质量矩阵中第i及第i+1 个元素均为mi相应位置 对称方阵，主对角线上元素均为正值 2 频率及主振型 设运动方程具有特解： 其中： 体系按某一频率ω振动时n个质点的振幅列阵 带入运动方程 并整理后： 若体系有非零解，则，系数行列式为零： n个自由度体系的频率方程 n个频率（按数值大小）： ω1，ω2，---，ωn n个自由度体系的振幅方程 带入振型方程，可得： 令： 表示与频率ωj相对应的主振型向量： 依上式可求得与ωj 相对应 主振型，我们可唯一地确定主振型的形状，但不能唯一地确定它的振幅。 n个自由度体系的振型方程 N自由度体系有n个主振型，若体系为对称形式，则这些主振型分为对称及反对称形式两类。 主振型的规准化： 为了使主振型的振幅也具有确定值，需另外补充条件，由此得到的主振型叫规准化主振型。 规准化方法1：规定主振型中某个元素为某个给定值，如，规定第一个元素Φ j(1)为1， 或最大的元素其值为1 。 规准化主振型向量用 表示 规准化方法2：规定主振型满足下式： 两边同乘