华师一2011届高三第一轮复习教案(第九章)第14讲球.docVIP

课 题： 球 教学内容： 球 教学目的： 掌握球的概念和性质；球的半径,球面两点间距离,表面积及体积的求法；能熟练处理球中的有关线面关系的证明与计算. 教学重点： 掌握球的概念和性质 教学过程： 一、知识概要 教学要求： 掌握球的概念和性质；球的半径,球面两点间距离,表面积及体积的求法；能熟练处理球中的有关线面 关系的证明与计算. 知识点1 球 半圆以它的直径为旋转轴所成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫球体，简称球。 指出：（1）球中形成球的半圆的圆心叫做球心；连结球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径； 连结球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径。 （2）球面也可以看做定点（球心）的距离等于定长（半径）的所有点的集合（轨迹）。 （3）球面与球体是有区别的，球面仅仅指球的表面，而球体不仅包括球的表面，同时还包括球面所包围的空间． 知识点2 球的截面的性质 用一个平面去截一个球，截面是圆面。 球心和截面圆心的连线垂直于截面（图9-8-2）． 球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r，有下面的关系：r=（如图9-8-3） 指出：① 当d=0时，截面过球心，此时截面积最大，此圆叫球的大圆．球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆．（不过球心的截面截得的圆叫球的小圆．） ② 当d=R时，平面与球相切． ③ 球是平面图形圆在空间的延伸，因此在研究球的性质时，应注意与 圆的性质作类比，球又是旋转体，由于旋转体是轴对称几何体，故解题时， 常利用它的轴截面图形，从而化空间问题为平面问题． ④ 掌握大圆的半径、截面圆半径以及球心到截面圆圆心的距离的关系是解决有关球的问题的关键． 知识点3 地球上的经纬线 当把地球看做一个球时，经线是球面上从北极到南极的半个大圆。 赤道是一个大圆，其余纬线都是一个小圆. 某点的经度是：经过这点的经线与地轴确定的半平面与本初子午线（0°经线）和地轴确定的半平面所成的二面角的度数． （0°经线也叫本初子午线．东线180°和西线180°同在一条经线上，那就是180°经线．） 某点的纬度是：经过这点的球半径赤道面所成角的度数． 知识点4 球面距离 在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，这个弧长叫做两点的球面距离．（如图9-8-4中的PQ的长度就是P、Q两点的球面距离．） 指出：（1）球面上两点间的球面距离，是在球的过此两点的大圆中求此 两点所对应的劣弧的长度。 （2）球面距离的求法：设球面上两点间的球心角为α弧度，球半径为R， 则球面上两点间距离为|α|·R．所以计算球面距离关键是确定球心角． ① 两点在同一经线圆上，可直接计算两点间劣弧长度． ② 两点在同一纬线圆上，先求弦长，由余弦定理求球心角，化为弧度，再用=|α|·γ可求得． ③ 两点经纬度都不同时，用异面直线上两点间距离公式求弦长，再由余弦定理求球心角(这一种情况，高考不作要求)． 知识点5 球的表面积和体积 半径为R的球表面积公式是：S=4πR2； 半径为R的球体积公式是：S=πR3． 二.典例解析 例1 (球中的有关计算) 正三棱锥的底面边长是2cm，侧棱与底面成60°角，求它的外接球的表面积. 解 ： 如图，PD是三棱锥的高，则D是ΔABC的中心，延长PD交球于E， 则PE就是外接球的直径。 AD＝AB＝，∠PAD＝60°，∴PD＝AD·tan60°＝2,PA＝，而AP⊥AE，∴PA2＝PD·PE＝＝，R＝，∴S球＝π(cm)2. 例2 (球中的有关计算) 如图8－12，球面上有四个点P、A、B、C，如果PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，求这个球的表面积。 解：如图8－12，设过A、B、C三点的球的截面圆半径为r，圆心为O′， 球心到该圆面的距离为d。 在三棱锥P—ABC中，∵PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a, ∴AB=BC=CA=a,且P在△ABC内的射影即是△ABC的中心O′。由正弦定理，得=2r,∴r=a。又根据球的截面的性质，有OO′⊥平面ABC， 而PO′⊥平面ABC，∴P、O、O′共线，球的半径R=。又PO′===a， ∴OO′=R － a=d=,(R－a)2=R2 – (a)2，解得R=a,∴S球=4πR2=3πa2。 指出：本题也可用补形法求解。将P—ABC补成一个正方体，由对称性可知，正方体内接于球，则球的直径就是正方体的对角线，易得球半径R=a,下略。 例3 (球面距离)设地球的半径为R，在北纬45°圈上有两个点A、B，A在西经40°，B在东经50°， 求A、B两点间纬线圈的弧长及A、B两点间的球面距离． 解：如图9-8-8，设45°纬度圈中心为O1，地球中心为O，则∠AO1B =40°+50°=90°。又∵OO1⊥