单元测验四答案.docVIP

单元测验四 一．判断题（18分） 1．若f(x)=g(x) a.e.于E，且f(x)在可测集E上可测，则f(x)也在E上可测。 2.若f(x)在可测集E上可测，则E(f=+()也可测。 3.若f(x)在可测集E上可测，则f(x)在E的任意可测子集上也可测。 E(fr)都可测，则f(x)在可测集E上也可测。 5．R 1上的单调函数必为可测函数。 f(x)定义于可测集，则f(x)是可测函数( f 2 (x) 是可测函数。 7．设f(x)定义于可测集，则f(x)是可测函数( f 3 (x) 是可测函数。 8．任何集合上的连续函数一定是可测函数。 9．若E可测，fn(x)(f(x), fn(x)(g(x),则f(x)=g(x) a.e.于E若f(x)E上可测a,有（ ） A E(fa)是开集； B E(f(a)是闭集； C E(f=a)是零测集； D E(fa)是可测集 2. 设若f(x)g(x)是E上可测E(fg)是（ ） A 可测集； B不可测集；C 空集； D 无法判定 3. 设f(x)是R 1上的可微函数，则导函数f( ((x)是（ ） A 连续函数； B a.e.连续函数；C 可测函数； D 无法判定 在（0，1）有限； B 在无界； C ，在[0，1]有限 ； D ，在[0，1]有界 5． 设是[0，1]中的不可测集， ，则下列函数在[0，1]上可测的是（ ）. A ； B ； C ； D 6．若f(x)可测，则它必是（ ）. A 连续函数； B 单调函数； C 简单函数； D 简单函数列的极限 7．一个函数在其定义域中的（ ）点处都是连续的. A 边界点 ； B 内点 ； C 聚点 ； D 孤立点. 8． 关于连续函数与可测函数，下列论述中正确的是（ ） A 它们是同一概念; B a.e.有限的可测函数是连续函数; C a.e.有限的可测函数是基本上连续的函数; D a.e.有限的可测函数是a.e.连续的函数 9. 关于依测度收敛，下列说法中不正确的是（ ） A 依测度收敛不一定一致收敛; B 依测度收敛不一定收敛; C 若{ fn(x)}在E上a.e.收敛于a.e.有限的可测函数f(x)，则 fn(x)(f(x), D 若fn(x)(f(x),，则存在子列{ fnk(x)} a.e.收敛于f(x) 1．若f(x)与g(x)是E上的可测函数，((x,y)是R2上连续函数，则((f(x),g(x))是E上的可测函数。 2．叙述并证明叶果洛夫定理的逆定理。 3．设f(x)是E=[a,b]上a.e.有限的可测函数，则对于任何((0及((， 存在连续函数g(x)，使m(E[(f-g(((])( (。 4．设函数列{ fn(x)}在E上依测度收敛于f(x)，且fn(x)(g(x)，a.e.于E，则f(x)(g(x)在E上a.e.成立。5．设，，，，试证。 ，在上可测，存在简单函数列，使得 ，在上成立。 此时是上的简单可测函数。 又由于是上连续函数， 故，于是是上的可测函数。 2．叶果洛夫定理的逆定理： 设为可测集，是上一列几乎处处有限的可测函数列，是上几乎处处有限的可测函数，如果对任意，存在可测子集，使在上一致收敛于，且。则在上几乎处处收敛于。 证明 对于分别存在可测集，使 且在上一致收敛于，当然上上点点收敛于， 从而，在上点点收敛于。 因为 所以， 故 3．证明 设是上a,e有限的可测函数，由鲁津定理得，在上基本上连续，即对存在，及连续函数g满足 （1） （2） 于是对，所以 。 4．证明 因，由Riesz定理，存在的子列，使 ，，且 设时有，且 这样时，有，从而 注意 。 5．证明：首先 因， 故 ， 所以 。