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§5.2　平面向量基本定理及坐标表示 1．平面向量基本定理 如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)， λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. 3．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥bx1y2－x2y1＝0. 题型一　平面向量基本定理的应用 例1　在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又＝t，试求t的值． 思维启迪　根据题意可选择，为一组基底，将，线性表示出来，通过＝t建立关于t的方程组，从而求出t的值． 解　∵＝＋，∴3＝2＋，即2－2＝－，∴2＝， 即P为AB的一个三等分点(靠近点A)，如图所示．∵A，M，Q三点共线， ∴设＝x＋(1－x)＝＋(x－1)，而＝－，∴＝＋(－1).又＝－＝－， 由已知＝t可得，＋(－1)＝t(－)，∴，解得t＝. 思维升华　平面向量基本定理表明，平面内的任意一个向量都可用一组基底唯一表示，题中将同一向量用同一组基底的两种形式表示出来，因此根据表示的“唯一性”可建立方程组求解． 　如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________． 答案　解析　设||＝y，||＝x，则＝＋＝－，① ＝＋＝＋，②①×y＋②×x得＝＋， 令＝，得y＝x，代入得m＝. 题型二　平面向量的坐标运算 例2　已知A(1，－2)，B(2,1)，C(3,2)，D(－2,3)， (1)求＋2－3； (2)设＝3，＝－2，求及M、N点的坐标． 思维启迪　(1)直接计算、、的坐标，然后运算； (2)根据向量的坐标相等列方程求点M，N的坐标． 解　(1)∵A(1，－2)，B(2,1)，C(3,2)，D(－2,3)，∴＝(－2－1,3＋2)＝(－3,5)， ＝(－2－2,3－1)＝(－4,2)，＝(3－2,2－1)＝(1,1)， ∴＋2－3＝(－3,5)＋2(－4,2)－3(1,1)＝(－3－8－3,5＋4－3)＝(－14,6)． (2)∵＝3，＝－2，∴＝－＝－2－3＝－2＋3， 由A、B、C、D点坐标可得＝(3,2)－(1，－2)＝(2,4)．∴＝－2(1,1)＋3(2,4)＝(4,10)． 设M(xM，yM)，N(xN，yN)．又＝3，∴－＝3(－)， ∴(xM，yM)－(3,2)＝3[(1，－2)－(3,2)]＝(－6，－12)．∴xM＝－3，yM＝－10，∴M(－3，－10)． 又＝－2，即－＝－2，∴(xN，yN)－(3,2)＝－2(1,1)，∴xN＝1，yN＝0，∴N(1,0)． 思维升华　向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则． 　已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b， (1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n； (3)求M、N的坐标及向量的坐标． 解　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)， ∴解得 (3)设O为坐标原点，∵＝－＝3c，∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M(0,20)．又∵＝－＝－2b，∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N(9,2)．∴＝(9，－18)． 题型三　向量共线的坐标表示 例3　(1)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为________． (2)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)，若(a－c)∥b，则k＝________. 思维启迪　(1)根据向量共线列式求相关点的坐标； (2)根据向量共线求参数． 答案　(1)(2,4)　(2)5 解析　(1)∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，∴＝2.设点D的坐标为(x，y)， 则＝(4,2)－(x，y)＝(4－x,2－