向量三点共线定理及其延伸应用汇总.docVIP

向量三点共线定理及其扩展应用详解 一、平面向量中三点共线定理的扩展及其应用 一、问题的提出及证明。 1、向量三点共线定理：在平面中A、B、C三点共线的充要条件是： （O为平面内任意一点），其中。 那么、时分别有什么结证？并给予证明。 结论扩展如下：1、如果O为平面内直线BC外任意一点，则 当时 A与O点在直线BC同侧，时， A与O点在直线BC的异侧，证明如下： 设 且 A与B、C不共线，延长OA与直线BC交于A1点 设 （≠0、≠1）A1与B、C共线 则 存在两个不全为零的实数m、n 且 则 、 （1） 则 则 A与O点在直线BC的同侧（如图[1]） （2）,则，此时与反向 A与O在直线BC的同侧（如图[2]） 图[2] （3），则 此时 A与O在直线BC的异侧（如图[3]） 图[3] 2、如图[4]过O作直线平行AB， 延长BO、AO、将AB的O侧区 域划分为6个部分，并设, 则点P落在各区域时，、满足的条件是： （Ⅰ）区： （Ⅱ）区： （Ⅲ）区： （Ⅳ）区： （Ⅴ）区： （Ⅵ）区： （证明略） 二、用扩展定理解高考题。 （1）如图[5] ，点P在由射线,线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且，则实数对（、）可以是……（ ） A.（，） B.（，） C.（，） D.（，） 解：根据向量加法的平等四边形法则及扩展定理，则 ，且，则选C （2）如图[5]，点P在由射线，线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是 。当时，的取值范围是 。 解：根据向量加法的平行四边形法则及扩展定理，则有： ，且当，有：，即 答案为：，（，） 二、向量共线定理的几个推论及其应用 人教版《数学》（必修）第一册（下）P115面介绍了一个定理：向量与非零向量共线有且仅有一个实数，使=。谓之“向量共线定理”。以它为基础，可以衍生出一系列的推论，而这些推论在解决一些几何问题（诸如“三点共线”“三线共点”等）时有着广泛的应用。以下通过例题来。 一、定理的推论 推论一：向量与向量共线存在不全为的实数，使，这实质是定理的另外一种表述形式。 推论二：三个不同点A、B、C共线存在一组全不为的实数，使。 注意推论（二）与推论（一）的区别：推论（二）中均不为零向量，而推论（一）中，向量可能含。 推论三设O、A、B三点不共线，且，（x，y∈R），则P、A、B三点共线x+y=1。 这实质是直线方程的向量形式。 推论四设O为平面内任意一点，则三个不同点A、B、C共线存在一组全不为的实数使且=证：① 当O点与A、B、C三点中任一点重合，则推论（四）即为推论（二）； ② 当O点与A、B、C三点均不重合，则三点A、B、C共线存在s，t∈R，且s·t≠0，使得，此时，s≠-t，否则，从而B点与C点重合，这与已知条件矛盾，故有：，即：。显然s+t+[-(s+t)]=0 令故得证推论五： 设O为平面内任意一点，则三个不同点A、B、C不共线若存在实数，使且则。 推论五实质是推论四的逆否命题推论六：点P在ΔABO的内部（不含边界）存在正实数，使得，且。 证：：如图，必要性：若点P在ΔABO的内部（不含边界），则，延长OP交AB于P1，P作OA、OB的平行线，分别交OA，OB于M，N点，过P1作OA，OB的平行线，分别交OA，OB于M，N点，显然，，。其中。由于.而充分性由上述各步的可逆性易知。 事实上，我们可以将推论三与推论六整合在一起，导出推论： 推论： 已知平面内不共线向量，且。分别记过点A且与BC平行的直线为，直线BC，AB，AC分别为则：P点在直线上不含A点一侧； P点在直线与之间P点在直线上P点在直线不含直线一侧P点在直线不含C点一例含C点一侧； P点在直线不含B点一侧，P点在直线含B点一侧。 证：设直线AP与直线BC相交于点，则设，则 故P若在直线BC上，则又∵共线，则,则,∵AB、AC不共线，则∴ （1）若P在①区域内，则0k1，即0，且均为正实数，即（2）若P在②区域内，则0k1，t1，则，，且（3）若P在③区域内，则k0，，且（4）若P在④区域内，则k0，，且（5）若P在⑤区域内，则k0，，且（6）若P在⑥区域内，则0k1，则（7）若P在⑦区域内，则k1，则，（8）若P在⑧区域内，则k1，则，（9）若P在⑨区域内，则k1，则，综上：上方，下方上方，下方左边，，右边，左边，，右边二、应用举例