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第三讲 向量组 --------------------------------------------------- 向量作为工具可以描述空间中的点、矩阵中的行或列、线性方程组中的方程等等。研究向量的线性运算[加法与数乘]、向量组线性相关性、向量组的秩[矩阵秩]与最大无关组、等价向量组等概念可以解决线性方程组的理论。 向量组是线性代数的重难点之一，概念多，内容抽象，推理逻辑性强，描述要求准确，与矩阵、方程组相互交织，可以相互转换。例如，向量组秩、最大无关组是线性方程组解的判定、结构定理的理论基础；向量组的秩和相应矩阵秩一致，是向量组与矩阵结合点，反映了向量组和矩阵的本质。 向量组主要分三大部分： ■线性表示与线性相关性：向量的线性组合和线性表示；向量组的线性表示与等价向量组；向量组的线性相关性； ■向量组的秩：向量组的最大无关组与秩的概念、性质及求法，向量组秩与矩阵秩关系；秩与线性相关性的关系； ■向量空间：向量空间及其基、维数；向量在基下的坐标；两基间的过渡矩阵；基的规范正交化： 正交阵及其性质。 教材:第四,第五章第1节。 ----------------------------------------------------------------------------------------- 一、主要内容 1、向量及其线性运算 ----概念------------------------------------------ （1）n个数组成的有序数组称为n维向量；写成一行的称为行向量，写成一列的称为列向量；若干个同维行（列）向量的集合称为向量组； （2）设有向量实数，则下列运算 ，， 称为向量的线性运算； （3）设有向量组和向量，若存在常数，使得有 ， 则称向量是向量组的线性组合[向量可以由向量组的线性表示]； （4）设有两个同维向量组，， ①若中每个向量均可由向量组线性表示，则称为向量组可由向量组线性表示； ②若向量组与向量组可相互线性表示，则称向量组与向量组为等价向量组。 注意:等价矩阵[初等变换],等价向量组[线性表示],等价方程组[同解]. ----转化--------------------------------- （1）向量组与矩阵：m×n矩阵与其行（列）向量组一一对应： 。 （2）线性表示与线性方程组： 列向量可由矩阵的列向量组线性表示 有解。 注意：行向量一般转化为列向量来处理，即所谓的“列摆行变换”。 （3）矩阵的列向量组可由矩阵的列向量组线性表示存在数字矩阵，使有； 矩阵的行向量组可由矩阵的行向量组线性表示存在数字矩阵，使有。[以书写二阶为例，规律记为“左行右列”。] ----------------------------------------------------------------------------------------- 2、向量组的线性相关性、最大无关组、秩 ----概念-------------------------------------- （1）设有向量组，如果存在一组不全为零的数，使 ， 则称线性相关；否则，称之为线性无关； （2）如果在向量组中能选出个向量满足： （ⅰ）线性无关； （ⅱ）中任意个向量（如果有的话）均线性相关[中任意向量均可由线性表示]，则称为向量组的一个最大无关组；的最大无关组所含向量的个数称为向量组A的秩，记为。 ----转化---------------------------------- （1）设，则 列向量线性相关[无关]有非零解[只有零解][]； 注意：向量组线性相关性、线性齐次方程组、矩阵秩的转换。 由此可知：当向量个数大于向量维数时，向量组必线性相关。当未知量个数大于方程个数时，线性齐次方程必有非零解。 --------------------------------------------------- 4、线性无关向量组的正交化 ----概念------------------------------------------- （1）设有n维列向量，则称数 为向量与的内积。内积具有下列性质： ⅰ、对称性：； ⅱ、线性性：； ⅲ、非负性：。 （2）对n维列向量，称非负数为向量的模。 模为1的向量称为单位向量；模为0的向量称为零向量。 对非零向量，单位化得单位向量。 （3）①与正交； ②两两正交的非零向量组称为正交向量组，即 为正交向量组 注意：正交向量组是线性无关向量组，反之不然。 ③两两正交的单位向量组称为标准正交向量组，即 为规范正交向量组 ④以正交向量组作为空间的基称为正交基；以规范正交向量组作为空间的基称为标准正交基。 注意：向量由基线性表示为：； 由正交基线性表示为：； 由标