向量组的秩例题选讲.pptVIP

例1 总结:向量组的有关结论 例3 例4 * 单个向量组成的向量组? : (1)若? = 0, 则线性相关; (2)若? ? 0, 则线性无关. 两个向量组成的向量组?, ? : (1)若对应分量成比例,则线性相关; (2)若对应分量不成比例,则线性无关. 复习线性相关性的判定理论 设有n维向量组成的向量组:?1,?2,…,?m (1)包含0向量?线性相关. (2)包含成比例的向量?线性相关. (3)线性相关?存在一个向量可由其余的 向量线性表示. (4)线性无关?任何向量都不能由其余的 向量线性表示. (m?2) 增加(减少)个数不改变相(无)关性. (5) (6) 增加(减少)维数不改变无(相)关性. (7) 向量组?1,?2,…,?m线性相关性 ?x1?1+x2?2+…+xm?m=0有非零解 ?齐次线性方程组AX=0有非零解 其中A=(?1 ?2 … ?m), X=(x1,x2,…,xm)T (8)设有n个n维向量?1,?2,…,?n: ?1,?2,…,?n线性相关?|?1 ?2 … ?n|=0; ?1,?2,…,?n线性无关?|?1 ?2 … ?n|?0. (9) Rn中?n+1个向量一定线性相关. (10)矩阵判别法. 4.3 向量组的秩 极大线性无关组与秩; 2. 向量组的等价; 3.向量组的秩与矩阵的秩的关系. 本节 主要内容 4.3.1 向量组的极大无关组与秩 定义1 设S是n维向量构成的向量组,在S中 选取r个向量 ,如果满足 (1) 线性无关 (2)任取 S,总有 线性相关. 则称向量组 为向量组S的一个 极大线性无关组(简称极大无关组). 数 r 称为该向量组的秩,记为 r(?1, ?2, … , ?s)= r 或秩(?1, ?2, … , ?s)= r 设有向量组 ?1 = (1, 1, 1)T, ?2 =(2,1, 0)T, ?3 =(3,2,1)T, 求向量组的秩和极大无关组. 因 ?1 , ?2 线性无关 ,且 所以?1 , ?2为极大无关组, 可知?1 , ?3和?2 , ?3也都是极大无关组. 故 秩( ?1, ?2 , ?3 ) =2. ?3 = ?1+ ?2 解 定理4.2 设n维向量?1,?2,…,?m线性无关, 而?1,?2,…,?m , ? 线性相关, 则? 可由 ?1,?2,…,?m 线性表示, 且表法唯一. 证 由?1,?2,…,?m, ? 线性相关 ?存在不全为零的数k1,k2,…,km,l使得 下面证明只有l?0, 反证法. 线性表示唯一性定理 如果 l =0, 则有k1, k2,…,km不全为零,使 于是?1, ?2, … , ?m 线性相关,与已知矛盾. 从而 l ? 0. 故有 即 ? 可由?1, ?2, … , ?m线性表示. 下面来证明表示的唯一性. 假若? 有两种表示法,设 两式相减,得 由?1,?2,…,?m 线性无关,得 ? 可由?1,?2,…,?m 唯一线性表示. 故 设有两个 n 维向量组 若(I)中每个向量都可由(II)线性表示, 则称 向量组(I)可由向量组(II)线性表示. 若向量组(I)和(II)可以互相线性表示, 则称向量组(I)与(II)等价. 定义2 4.3.2 向量组的等价 等价的性质 自反性、对称性、传递性 n维向量组 存在数 ,使得 即 定义 存在r×s矩阵K,使得 Bn×s =An×r 向量组(II)可由向量组(I)线性表示 极大无关组与原向量组的关系? 极大无关组之间的关系? 这都要用到两个向量组之间的关系. 向量组极大无关组的几个问题: 向量组与它的极大无关组等价. 证 设(I) 极大无关组. 不妨设(II) 性质1 的秩为r, 是(I)的一个 即(II) 可由(I) 线性表示. ??i ( i = 1,2,…,r)? (II), 由 (1) 由定义1知, ?1, ?2 ,?, ?m中任意r+1个 (2) 故 (I)与(II) 等价. ? ?j ?(I) 向量都线性相关. 如果j=1,…,r, ?j 显然可由?1, ?2 ,?, ?r 线性表示;如果 j=r+1,…,m, 向量组?1, ?2 ,?, ?r , ?j 一定 线性相关,所以 ?j ( j=r+1,…,m)可以由 ?1, ?2 ,