周期,任意角,弧度正余弦函数.docVIP

周期现象，任意角，角的弧度制，单位圆与正、余弦函数 【基础知识】 1.函数的周期性 (1)定义：如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x＋T)＝________，则称f(x)为________函数，其中T称作f(x)的周期．若T存在一个最小的正数，则称它为f(x)的________________． (2)性质： ①f(x＋T)＝f(x)常常写作f(x＋)＝f(x－)． ②如果T是函数y＝f(x)的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是y＝f(x)的周期，即f(x＋kT)＝f(x)． 2. 角的概念 (1)任意角：①定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角 （2）正角，负角，零角的概念： (3)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}． (4)象限角：①定义：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限．②分类：角按终边位置不同分为象限角和轴线角（象限界角）． 说明：象限角和轴线角（象限界角）的研究脱离不了平面直角坐标系 3. 弧度制 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零，弧度的单位记作rad。 (2)用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．|α|＝，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．比值与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关． (3)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝ rad,1 rad＝°. (4)扇形的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝lr＝|α|·r2. 说明：在进行角度与弧度的换算时，关键要抓住180°＝πrad这一关系式 4． 任意角的三角函数 (1)任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sin α＝y，cos α＝x，tan α＝.三个三角函数的初步性质如下表： 三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号 sin α R ＋ ＋ － － cos α R ＋ － － ＋ tan α {α|α≠kπ+，k∈Z} + - + - (2)三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 5．诱导公式 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 【基础应用】 填表 角度 0° 45° 60° 180° 360° 弧度 题型一　角的有关问题 例1　(1)写出终边在直线y＝x上的角的集合； (2)若角θ的终边与角的终边相同，求在[0,2π)内终边与角的终边相同的角； (3)已知角α是第一象限角，试确定2α、所在的象限． 已知角α＝45°， (1)在区间[－720°，0°]内找出所有与角α有相同终边的角β； (2)设集合M＝， N＝，那么两集合的关系是什么？ 题型二　三角函数的定义 例2　已知角α的终边经过点P(x，－) (x≠0)，且cos α＝x，求sin α的值． 已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α，cos α的值． 题型三　三角函数线、三角函数值的符号 例3　(1) 已知cos α=－，求角α的集合． 题型四　扇形的弧长、面积公式的应用 例4　已知一扇形的圆心角为α (α0)，所在圆的半径为R. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积； (2)若扇形的周长是一定值20 ，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 思维启迪：(1)弓形面积可由扇形面积与三角形面积相减得到；(2)建立关于α的函数． (1)一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？扇形的面积是多少？ (2)一扇形的周长为20 cm；当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 题型五　三角函数的诱导公式的应用 例5.求下列函数值 （1）sin(－1650()； （2）sin(－π) （3）cos （4）cos （5）cos(－) （6）cos(－1650°) 变式题：求(1)sin(－1 740°)·cos1 470°＋cos660°·sin750°的值． (2)sin(－1 320°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)·sin 750°＋tan 495°； (3)cos(－π)＋tan π； 题型六　三角函数的化简 （1） （