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在介绍排列组合方法之前
在介绍排列组合方法之前 我们先来了解一下基本的运算公式!
C5取3=(5×4×3)/(3×2×1) C6取2=(6×5)/(2×1)
通过这2个例子 看出
CM取N 公式 是种子数M开始与自身连续的N个自然数的降序乘积做为分子。 以取值N的阶层作为分母
P53=5×4×3 P66=6×5×4×3×2×1
通过这2个例子
PMN=从M开始与自身连续N个自然数的降序乘积 当N=M时 即M的阶层
排列、组合的本质是研究“从n个不同的元素中,任取m (m≤n)个元素,有序和无序摆放的各种可能性”.区别排列与组合的标志是“有序”与“无序”.
解答排列、组合问题的思维模式有二:
其一是看问题是有序的还是无序的?有序用“排列”,无序用“组合”;
其二是看问题需要分类还是需要分步?分类用“加法”,分步用“乘法”.
分类:“做一件事,完成它可以有n类方法”,这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时,首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准,然后在这个标准下进行分类;其次,分类时要注意满足两条基本原则:①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类;②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法.
分步:“做一件事,完成它需要分成n个步骤”,这是说完成这件事的任何一种方法,都要分成n个步骤.分步时,首先要根据问题的特点,确定一个可行的分步标准;其次,步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后,这件事才算最终完成.
两个原理的区别在于一个和分类有关,一个与分步有关.如果完成一件事有n类办法,这n类办法彼此之间是相互独立的,无论那一类办法中的那一种方法都能单独完成这件事,求完成这件事的方法种数,就用加法原理;如果完成一件事需要分成n个步骤,缺一不可,即需要依次完成所有的步骤,才能完成这件事,而完成每一个步骤各有若干种不同的方法,求完成这件事的方法种类就用乘法原理.
在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点:
1.有限制条件的排列问题常见命题形式:
“在”与“不在”
“邻”与“不邻”
在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法:
⑴“相邻”问题在解题时常用“合并元素法”,可把两个以上的元素当做一个元素来看,这是处理相邻最常用的方法.
⑵“不邻”问题在解题时最常用的是“插空排列法”.
⑶“在”与“不在”问题,常常涉及特殊元素或特殊位置,通常是先排列特殊元素或特殊位置.
⑷元素有顺序限制的排列,可以先不考虑顺序限制,等排列完毕后,利用规定顺序的实情求出结果.
2.有限制条件的组合问题,常见的命题形式:
“含”与“不含”
“至少”与“至多”
在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”.
3. 在处理排列、组合综合题时,通过分析条件按元素的性质分类,做到不重、不漏,按事件的发生过程分步,正确地交替使用两个原理,这是解决排列、组合问题的最基本的,也是最重要的思想方法.
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提供10道习题供大家练习
1、三边长均为整数,且最大边长为11的三角形的个数为( C )
(A)25个 (B)26个 (C)36个 (D)37个
【解析】
根据三角形边的原理 两边之和大于第三边,两边之差小于第三边
可见最大的边是11
则两外两边之和不能超过22 因为当三边都为11时 是两边之和最大的时候
因此我们以一条边的长度开始分析
如果为11,则另外一个边的长度是11,10,9,8,7,6,。。。。。。1
如果为10 则另外一个边的长度是10,9,8。。。。。。2,
(不能为1 否则两者之和会小于11,不能为11,因为第一种情况包含了11,10的组合)
如果为9 则另外一个边的长度是 9,8,7,。。。。。。。3
(理由同上 ,可见规律出现)
规律出现 总数是11+9+7+。。。。1=(1+11)×6÷2=36
2、
(1)将4封信投入3个邮筒,有多少种不同的投法?
【解析】 每封信都有3个选择。信与信之间是分步关系。比如说我先放第1封信,有3种可能性。接着再放第2封,也有3种可能性,直到第4封, 所以分步属于乘法原则 即3×3×3×3=3^4
(2)3位旅客,到4个旅馆住宿,有多少种不同的住宿方法?
【解析】跟上述情况类似 对于每个旅客我们都有4种选择。彼此之间选择没有关系 不够成分类关系。属于分步关系。如:我们先安排第一个旅客是4种,再安排第2个旅客是4种选择。知道最后一个旅客也是
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