圆锥曲线(二)答案.docVIP

圆锥曲线（二） 例1.如图，椭圆：，a，b为常数)，动圆，。点分别为的左，右顶点，与相交于A，B，C，D四点。 (Ⅰ)求直线与直线交点M的轨迹方程; (Ⅱ)设动圆与相交于四点，其中， 。若矩形与矩形的面积相等，证明：为定值。 【命题意图】本题主要考查圆的方程、椭圆方程、轨迹求法、解析几何中的定值问题，考查转化与化归能力、运算求解能力，是难题. 【解析】设，又知，则 直线的方程为 ① 直线的方程为 ② 由①②得 ③ 由点在椭圆上，故可得，从而有，代入③得 ……6分 （2）证明：设，由矩形与矩形的面积相等，得 ，因为点均在椭圆上，所以 由，知，所以。从而，因而为定值…12分 【点评】本题主要考查圆的性质、椭圆的定义、标准方程及其几何性质、直线方程求解、直线与椭圆的关系和交轨法在求解轨迹方程组的运用。本题考查综合性较强，运算量较大。在求解点的轨迹方程时，要注意首先写出直线和直线的方程，然后求解。属于中档题，难度适中。 例2.设是单位圆上的任意一点，是过点与轴垂直的直线，是直线与 轴的交点，点在直线上，且满足. 当点在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线． （Ⅰ）求曲线的方程，判断曲线为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标； （Ⅱ）过原点且斜率为的直线交曲线于，两点，其中在第一象限，它在轴上的射影为点，直线交曲线于另一点. 是否存在，使得对任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（Ⅰ）如图1，设，，则由， 可得，，所以，. ① 因为点在单位圆上运动，所以. ② 将①式代入②式即得所求曲线的方程为. 因为，所以 当时，曲线是焦点在轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为，； 当时，曲线是焦点在轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为，. （Ⅱ）解法1：如图2、3，，设，，则，， 直线的方程为，将其代入椭圆的方程并整理可得 . 依题意可知此方程的两根为，，于是由韦达定理可得 ，即. 因为点H在直线QN上，所以. 于是，. 而等价于， 即，又，得， 故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有. 解法2：如图2、3，，设，，则，， 因为，两点在椭圆上，所以 两式相减可得 . ③ 依题意，由点在第一象限可知，点也在第一象限，且，不重合， 故. 于是由③式可得 . ④ 又，，三点共线，所以，即. 于是由④式可得. 而等价于，即，又，得， 故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有. 例3.已知曲线. （1）若曲线是焦点在轴上的椭圆，求的取值范围； （2）设，曲线与轴的交点为，（点位于点的上方），直线与曲线交于不同的两点，，直线与直线交于点， 求证：，，三点共线. 解：（1）原曲线方程可化简得： 由题意可得：，解得： （2）由已知直线代入椭圆方程化简得：， ，解得：由韦达定理得：①，，② 设，， 方程为：，则， ，， 欲证三点共线，只需证，共线 即成立，化简得： 将①②代入易知等式成立，则三点共线得证。 例4.设抛物线的焦点为，准线为，，已知以为圆心， 为半径的圆交于两点； （1）若，的面积为；求的值及圆的方程； （2）若三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点， 求坐标原点到距离的比值. 【答案】（1）由对称性知：是等腰直角，斜边 点到准线的距离 圆的方程为 （2）由对称性设，则 点关于点对称得： 得：，直线 切点 直线 坐标原点到距离的比值为. 2015年湖南高考数学冲刺综合复习（符海华老师编辑） 1 图2 图3 图1 O D x y A M 第21题解答图