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第一章 复数与复变函数 【本章教学目的和要求】： 熟练掌握复数的各种表示方法及其运算，了解复数运算的几何意义； 理解区域，单连通区域，复连通区域和复球面等概念； 掌握一些曲线的复数表达式； 理解复变函数的概念，了解复变函数的极限和连续的概念。 【本章重点、难点】复数的运算，用复数方程表示曲线 §1.1复数 复数域： 1）概念：每个复数具有的形状，其中和，是虚数单位；和分别称为的实部和虚部，分别记作，。 2）复数相等：复数和相等是指它们的实部与虚部分别相等。 3）共轭复数： 4）复数的四则运算定义为： 复平面： C也可以看成平面，我们称为复平面。 作映射：，则在复数集与平面之建立了一个1-1对应。 横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴； 3、模与幅角： 1）向量的长度称为复数的模，定义为：； 若 2）幅角：向量与正实轴之间的夹角称为复数的辐角，定义为：（）。 3）复数的三角形式与指数形式表示： 三角表示定义为： 指数表示： 4）开方公式： （） 4.三点共线问题：两点的参数方程 §1.2复平面上的点集 1 .概念： 领域、内点，外点、边界点、开集与闭集 2 .区域 3、连续曲线、简单曲线、简单闭曲线以及连通区域 §1.3复变函数 单值函数与多值函数 极限与连续性： 复变函数等价于两个实变量的实值函数：若，，则等价于两个二元实变函数和。 §1.4复球面与无穷远点 引入一个新的非正常复数无穷远点，称为扩充复平面，记为。 无穷远点的邻域：与去心邻域： 第二章 解析函数 【本章教学目的和要求】 了解复变函数的可导与微分的概念； （2）理解解析的概念； （3）熟悉复变函数解析的充分条件； (4 ) 了解初等解析函数主要性质。 【重点、难点】 函数解析性的判断，解析函数的充要条件 解析函数概念与Cauchy-Riemann条件 复变函数的导数与微分 解析函数及简单性质： 1）定义：如果在及的某个邻域内处处可导，则称在处解析 注1、解析性与可导性：在一个点的可导性是一个局部概念，而解析性是一个整体概念； 注2、函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内解析，因此在此点可导；反之，在一个点的可导性不能得到在这个点解析。 2）解析函数的四则运算： 3、Cauchy-Riemann条件： 定理2.1（点可微必要条件）、定理2.2（点可微充要条件）、定理2.3（点可微充分条件） 定理2.4（区域解析的充要条件）定理2.5（区域解析的充分条件） 注解2、解析函数的导数形式更简洁： 注解3、利用此定理，可以判断一个复变函数是否在一点可微或在一个区域内解析：如以及在整个复平面内解析，而在任何点都不可微。 第二节：初等函数 指数函数： 定义复指数函数，为 从定义得； 指数函数是周期为其基本周期函数； 指数函数在整个复平面内有定义并且解析， 三角函数与双曲函数： 当时，上述复指数函数 ， ， 从而得到：。 我们规定 并分别称为的正弦函数和余弦函数。 是奇函数，是偶函数；在平面上是解析的，且；及是为周期的周期函数。 的零点为， 的零点为 事实上，可以写成如令即写成 故，即： 所以是的零点。 在复数域内不能再断言 第三节 初等多值函数 1 根式函数 （1）定义：我们规定根式函数为幂函数的反函数。 都变成平面上除去原点及负实轴的区域。 这是函数（1）的单叶性区域的分法。 （2）分出的单值解析分支 （3）的支点和支割线 一般是具有这样性质的点，使得当变点绕这点旋转一周时，多值函数从一支变为另一支，也就是说哦，当变点回到原位置的时候，函数值与原来的函数值相异，这样的性质的点，就称为支点。 是以为支点的。 用来割破平面，借以分出的单值解析分支的割线，称为的支割线 2 对数函数 （1）定义：我们规定对数函数是指数函数的反函数。即若 （3） 则复数为复数的对数，记为 令则（3）就是 因而 故方程（3）的全部根是 或 称为的主值，于是。 （2）分出的单值解析分支 仍以为支点 3、一般幂函数与一般指数函数 第三章 复变函数的积分 【本章教学目的和要求】 (1) 理解复变函数积分的概念并了解它的基本性质； (2) 掌握复变函数积分的计算方法； (3) 掌握Cauchy积分定理及其推论； (4) 熟练掌握用Cauchy积分公式及高阶导数公式计算积分。 【重点、难点】 柯西积分定理，柯西积分公式及高阶导数公式 §1.复积分的概念及其简单性质 1、复变函数的积分的定义： f(z)沿曲线C的积分，记为 于是我们有： 积分换元法：， 2.复变函数积分的基本性质： 设f(z)及g(z)在简单曲线C上连续，则有 （1） （2） （3），其