奥赛经典试题.docVIP

设G是△ABC的重心，M、N分别是AC、AB的中点．设△ANC和△AMB的外接圆相交于A和P，AMN的外接圆交AP于T．证明 为定值． 设S为整数集，S ≠ Z (所有整数(，满足：对( x, y ( S (可以相同( 有x 2－y ( S．证明：对( x, y ( S，若x, y的最大公因子(x, y( = 1，则 (x－2, y－2( 1． 3、某种彩票的对奖号是的排列，购买彩票时号码可自选，开出的中奖号也是的排列，如果对奖号与中奖号有数在同一位置上即为中奖。为确保中奖，最少得买多少张彩票？ 4、设证明，对于S中任何1000个数。其中必有六个数，它们的乘积是某正整数的六次方。 午 1．设G是△ABC的重心，M、N分别是AC、AB的中点．设△ANC和△AMB的外接圆相交于A和P，AMN的外接圆交AP于T．证明 为定值． 解：如图，记∠CAP = (, ∠BAP = (，由A、M、P、B；A、N、P、C；A、M、T、N三组四点共圆可知 ∠PAM = ∠MNT = ∠MBP = (, ∠NAT = ∠NMT = ∠BMP = (． 所以△NMT∽△NCP, = ． 由∠MNT = ∠CNP = ∠TNP = ∠MNC． 所以△TNP∽△MNC, = ．同理 = ． 所以BN = AB, CM = AC，推出 = ． 在圆AMTN中，有 = ． 下面证明∠BAG = ( = ∠CAT． 在BC上取一点Q，使∠CAB = (，则∠BAQ = (． 由正弦定理得 = , = ． 相除得 = = = ．所以CQ = BQ． 又G在AQ中线上，所以∠BAG = ( = ∠CAT． 设AG交NM于S，则S为MN的中点． 由∠ATN = ∠AMS, ∠NAT = ( = ∠SAM得 △ATN∽△AMS． 所以 = = ． 由 = , AM = MC得到 AT = 2 TP．故 = ． 2． 设S为整数集，S ≠ Z (所有整数(，满足：对( x, y ( S (可以相同( 有x 2－y ( S．证明：对( x, y ( S，若x, y的最大公因子(x, y( = 1，则 (x－2, y－2( 1 证：若存在(a, b( = 1，(a－2, b－2( = 1，a, b ( S，则证明S = Z． 令T = {x 2－y 2| x, y ( S }．若T中有若干个数a1, …, am满足 (a1, a2, …, am( = 1，则设ai = xi2－yi2 (xi, yi ( S(． 因 (a1, a2, …, am( = 1，所以存在 (1, (2, …, (m ( Z，使 (1a1 + (2a2 + … + (mam = 1． 由于a ( T ( －a ( T．可设 (i (i = 1, …, m( 为正数． 对( x ( S，yi2－x ( S，xi2－x ( S，则 xi2－(yi2－x( ( S, yi2－(xi2－x( ( S．所以 x + ai ( S, x－ai ( S (i = 1, 2, …, m(． 推出x + (1a1 + … + (mam ( S, x－((1a1 + … + (mam( ( S，即x + 1 ( S, x－1 ( S．从而易知S = Z． 故存在质数p，p整除于T中的每一个数． a, b ( S ( a 2－b, b 2－a ( S． p| a 2－b 2, p| (a 2－b( 2－b 2 = a 4－2a 2b, p| (b 2－a( 2－a 2 = b 4－2b 2 a ( p| a 4－2a 2 b－(b 4－2b 2 a( ( p| 2ab(b－a(． 若p| 2，则p = 2, 2| a 4, 2| b 4 与(a, b( = 1矛盾； 若p| a， 则p| a 2－b 2 ( p| b，矛盾． 同理p? b，所以p| b－a． 由p| a 4－2 a 2 b ( p| a 4－2 a 2 (b－a(－2a 3 ( p| a 3 (a－2(．由于p? a，所以p? a 3 ( p| a－2．同理p| b－2， 故(a－2, b－2( ≥ p 1． 3、某种彩票的对奖号是的排列，购买彩票时号码可自选，开出的中奖号也是的排列，如果对奖号与中奖号有数在同一位置上即为中奖。为确保中奖，最少得买多少张彩票？ 解：26张，此26张中的每张前26个数字为1，2，…，26排列如下： 1，2，…，26；2，…26，1；3，…，26，1，2；…， 26，1，…，25。 而后面只有24个位置，不可能满足1，2，…26都在这些位置上，∴必有一张中奖 下证对任何25张彩票，不中奖的可能。 设每张彩票对应数组