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学案65　二项式定理 导学目标： 1.能用计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 自主梳理 1．二项式定理的有关概念 (1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn (n∈N*)，这个公式叫做______________． ①二项展开式：右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式． ②项数：二项展开式中共有________项． ③二项式系数：在二项展开式中各项的系数________(k＝______________)叫做二项式系数． ④通项：在二项展开式中的________________叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即通项为展开式的第k＋1项：Tk＋1＝____________________. 2．二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端________的两个二项式系数相等． (2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项二项式系数________________取得最大值；当n为奇数时，中间的两项二项式系数____________、________________________相等，且同时取得最大值． (3)各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝______，C＋C＋C＋…＋C＝________，C＋C＋C＋…＋C＝________. 自我检测 1．(2011·福建)(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于(　　) A．80 B．40 C．20 D．10 2．(2011·陕西)(4x－2－x)6(x∈R)展开式中的常数项是(　　) A．－20 B．－15 C．15 D．20 3．(x－y)10的展开式中x6y4项的系数是(　　) A．840 B．－840 C．210 D．－210 4．(2010·四川)6的展开式中的第四项是______． 5．(2011·山东)若(x－)6展开式的常数项为60，则常数a的值为________． 6．(2011·烟台期末)已知n为正偶数，且n的展开式中第4项的二项式系数最大，则第4项的系数是__________．(用数字作答) 探究点一　二项展开式及通项公式的应用 例1　已知在n的展开式中，第6项为常数项． (1)求n；(2)求含x2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项． 变式迁移1　(2010·湖北)在(x＋y)20的展开式中，系数为有理数的项共有________项． 探究点二　二项式系数的性质及其应用 例2　(1)求证：C＋2C＋3C＋…＋nC＝n·2n－1； (2)求S＝C＋C＋…＋C除以9的余数． 变式迁移2　(2011·上海卢湾区质量调研)求C＋C＋…＋C＋…＋C的值． 探究点三　求系数最大项 例3　已知f(x)＝(＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项． 变式迁移3　(1)在(x＋y)n的展开式中，若第七项系数最大，则n的值可能等于(　　) A．13,14 B．14,15 C．12,13 D．11,12,13 (2)已知n，(ⅰ)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数的最大项的系数； (ⅱ)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项． 1．二项式系数与项的系数是不同的，如(a＋bx)n (a，b∈R)的展开式中，第r＋1项的二项式系数是C，而第r＋1项的系数为Can－rbr. 2．通项公式主要用于求二项式的指数，求满足条件的项或系数，求展开式的某一项或系数．在运用公式时要注意：Can－rbr是第r＋1项，而不是第r项． 3．在(a＋b)n的展开式中，令a＝b＝1，得C＋C＋…＋C＝2n；令a＝1，b＝－1，得C－C＋C－C＋…＝0，∴C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1，这种由一般到特殊的方法是“赋值法”． 4．二项式系数的性质有：(1)在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C＝C，C＝C，C＝C，…，C＝C.(2)如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大． 5．二项式定理的一个重要作用是近似计算，当n不是很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.利用二项式定理还可以证明整除性问题或求余数问题，证题时要注意变形的技巧． (满分：75分) 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2011·山东实验中学模拟)在24的展开式中，x的