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实变函数模拟试题
《实变函数》模拟试题
(适用于高师函授数学与应用数学专业专科起点本科学生,闭卷考试 时间120分钟)
题号 一 二 三 四 总分 复核人 得分 一、选择题 (共10题,每题3分,共30分)
1.设是中有理数的全体,则在中的导集是 【 】
(A) (B) (C) (D)
2.设是一列闭集,,则一定是 【 】
(A)开集 (B)闭集 (C) 型集 (D) 型集
3.设是中有理数全体,则 【 】
(A) 0 (B)1 (C)+∞ (D)-∞
4.下面哪些集合的并组成整个集合的点 【 】
(A) 内点,界点,聚点 (B) 内点,界点,孤立点
(C) 孤立点,界点,外点 (D) 孤立点,聚点,外点
5.设是Cantor集,则 【 】
(A) 与对等,且的测度为0 (B) 与对等,且的测度为1
(C) 与不对等,的测度为0 (D) 与不对等,的测度为1
6. 设与在上可测,则是 【 】
(A) 可测集 (B) 不可测集 (C)空集 (D) 无法判定
7. 设在可测集上有定义,,则是 【 】
(A) 单调递增函数列 (B) 单调递减函数列
(C) 可积函数列 (D) 连续函数列
8. 设是任一可测集,则 【 】
(A) 是开集 (B) 是闭集 (C) 是完备集
(D) 对任意,存在开集,使
9.设,则 【 】
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
10.设是上一列几乎处处有限的可测函数,若对任意,有下面条件成立,则 依测度收敛于. 【 】
(A) (B)
(C) (D)
二、定理叙述题(共2题,每题5分,共10分)
1.鲁津定理
2.Fatou引理
三、判断改正题(正确的打对号,错误的打错号并改正,共5题,每题4分,共20分)
1. 若与它的真子集对等,则一定是有限集. 【 】
2. 凡非负可测函数都是可积的. 【 】
3.设为空间中一非空集,若则 【 】
4.设为可测集,则存在型集,使得,且. 【 】
5.在上可积,则在可积且 【 】
四、证明题(共4题,每题10分,共40分)
1.开集减闭集后的差集为开集,闭集减开集后的差集为闭集.
2.上全体有理数点集的外测度为零.
3.设函数列在上依测度收敛,且于,则于.
4.设在上可积,则.
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