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第十届澳门数学奥林匹克比赛 第二轮选拔赛题解(v.1.2) 　 已知A、B、C是同一直在线三个不同的点，O是这直线外的一点，过A、O、C；B、O、C；A、O、B分别作圆。设这三个圆的圆心分别为O1、O2、O3。求证：O、O1、O2、O3四点共圆。(见互动的图) 证：不妨假设A、C、B三点顺序。 圆O1与O3相交于点A、O两点，跟据SSS原理，三角形O3O1O与O1O3A全等， 从而∠O3O1O=∠O3O1A。同理∠O3O2O=∠O3O2B。　 设弧BnO与弧BCO共同组成圆O2、弧AmO与弧ACO共同组成圆O1。 因此有∠O3O1O+∠O3O2O=(弧ACO的度数+弧BCO的度数)/2 =[ (360。-弧AmO的度数)+(360。-弧BnO的度数)]/2 =[720。-2(∠ACO+∠BCO)]/2=180。。　 所以O、O1、O2、O3四点共圆。 注：考生对几何题兴趣不大。 ? (i)　 设x、y、z为三个正实数且xyz=1，求证：。 (ii)　　 设a、b、c为三个正实数且abc=1，求证：。　 ? 证：(i)证法一：运用xyz=1直接改写左式为[x2+1/x] + [y2+1/y] + [z2+1/z]。 然后运用均值不等式，立即得到要证明的不等式。 (i)证法二：不妨设a、b、c为正实数使得a2=x、b2=y、c2=z，则abc=(xyz)1/2=1。 原方程可以等价地改写为a4+b4+c4+a2b2+b2c2+a2c2 ≧2abc(a+b+c)。 由均值不等式，得a4+b2c2≧2abca， 类似地有b4+a2c2 ≧2abcb、c4+a2b2 ≧2abcc。 加起这三个不等式，便得以上的等价不等式。 (ii) 证法一： 首先将左式通分，得到分母： (a+b+1)(b+c+1)(c+a+1)及分子 (b+c+1)(c+a+1)+(a+b+a)(c+a+1)+(a+b+1)(b+c+1)。 然后可以考虑：(分母) -(分子)= (a+b+1)(b+c+1)(c+a+1) -[ (b+c+1)(c+a+1)+(a+b+1)(c+a+1)+(a+b+1)(b+c+1)] =(a+b)(b+c+1)(c+a+1) - (a+b+1)(c+a+1) - (a+b+1)(b+c+1) =[(a+b)(b+c+1) -(a+b+1) ](c+a+1)　 -(a+b+1)(b+c+1) =[(a+b)(b+c) -1](c+a+1) -(a+b)(b+c) -(a+b)-(b+c) -1 =(a+b)(b+c)(c+a) -(c+a) -1 - (a+b)-(b+c)-1 =(a+b)(b+c)(c+a)-2(a+b+c) -2 注：以上的解是利用分解因子，可能比较间接；当然可以展开所有的项，这比较直接。 直至目前为至，仍未运用abc=1，但留意第一项之积有2abc。 上式=[ab2+b2c]+[c2a+bc2]+[a2b+a2c] -2(a+b+c) +(2abc-2) =[ab2+b2c]+[c2a+bc2]+[a2b+a2c] -2(a+b+c)　　　 (**) ≧2[ab4c]1/2+2[ab4c]1/2+2[ab4c]1/2 -2[a+b+c] =2 [a3/2+b3/2+c3/2 -(a+b+c)]=2 [a3/2+b3/2+c3/2 -(a+b+c)a1/6b1/6c1/6] ≧2 [a a1/6a1/6 a1/6 +b b 1/6 b1/6b1/6+c c1/6 c1/6c1/6 -(a+b+c)a1/6b1/6c1/6] =2[ a7/6a1/6 a1/6 +b7/6 b1/6b1/6+c7/6 c1/6c1/6 -(a7/6b1/6c1/6+a1/6b7/6c1/6+a1/6b1/6c7/6)] ≧0 。 而最后的不等式为推广了的排序不等式 (参考《柯西不等式与排序不等式》第十二章：排序原理III，第235页。 稍后会在“有名的不等式”网页上加上这些原理，共有六个)。 其实不妨假设a≧b≧c，重复对不同的两项运用几次排序不等式也可以得到以上的不等式。有兴趣的读者可以自行尝试。 注意：推广了的排序不等式只能应用于：顺序和≧所有乱序和。 注：很多学生也能写出：式子 (**) (分母) -(分子)=[ab2+b2c]+[c2a+bc2]+[a2b+a2c] -2(a+b+c)　 但由于以上的式子不是齐次，所以有一定的困难。 (ii) 证法二：这一个证明需要一些观察力。 不妨设x、y、z为正实数使得x3=a、y3=b、z3=a，则xyz=(abc)1/3=1。 a+b+1=x3+y3+xyz≧xy(x+y)+xyz=xy(