中考數学存在性问题分析及对策.doc

中考数学存在性问题分析及对策 曲阜师范大学附属中学 273165 刘伟 中考数学命题以《全日制义务教育数学课程标准》为依据，努力克服过分注重知识掌握的偏向，促进学生形成终身学习所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想方法和综合运用知识分析和解决问题的能力.近年来各地中考数学试题不断推陈出新，出现了一大批设计思路开阔、内涵丰富、立意深刻、发人深思的好试题.而本文所要分析的存在性问题就是这些试题中的典型代表. 一、中考数学存在性问题的内涵 中考数学的存在性问题一般是指根据题目所给的条件，探究是否存在符合要求的结论．此类问题的叙述一般是“是否存在……，如果存在，请求出……（或请证明……）；如果不存在，请说明理由．”这类问题大多以函数图象为载体，来研究事物的存在性，它的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思精巧，解题方法灵活，理解比较抽象，对知识的迁移能力、灵活运用能力和分析问题的能力要求很高，所以一直是近些年来全国各地中考数学试题的压轴型题目.但是解这类题目也有固定的思路：先假设存在，再经过逻辑推理，最终验证假设并得出结论.由于“存在性”问题的结论有两种可能，因此，具有较强的开放性和探索性的特征，正确完整地解答这类问题，是对我们学生知识、能力的一次全面的考验. 二、存在性问题的类型分析及相应对策 存在性问题是探索型问题中的一种典型性问题．存在性问题探索的方向是明确的．探索的结果有两种：一种是存在：另一种是不存在．一种方法是直接求解法，就是直接从已知条件入手，逐步试探，求出满足条件的对象，使问题得到解决的解法；另外一种方法是假设求解法，就是先假设结论存在，再从已知条件、定义、定理或公理出发，进行演绎推理；若得到和题意相符合的结论，则假设成立，结论也存在；否则，假设不成立，结论不存在.即假设结论存在，根据条件推理、计算，如果求得出一个结果，并根据推理或计算过程每一步的可逆性，证得结论存在；如果推得矛盾的结论或求不出结果，则说明结论不存在．在解决存在性问题中，常用的就是假设求解法，这也是本文要讨论的方法. 1.数值的存在性问题 例1． . （1）求二次函数的最小值（用含的代数式表示） （2）若点在点的左侧，且· ①当取何值时，直线通过点； ②是否存在实数，使？如果存在，求出抛物线的解析式；如果不存在，请说明理由. 分析：本题存在性问题体现在第（2）问的后半部分.通过观察图形可以知道，要使，由于即，因此，只需两个三角形同底上的高相等就可以.显然是的高线，而的高线，需由作的垂线段，在两个高的长中都含有字母，就不难求出满足条件的值.解： ∵点在点左侧， ∴，， . . ②假设存在，过点作于点，则 ∴OP=CD , . 2、最值的存在性问题 例2．如图，中，，，，为上一点，过点作，交于.连结，问点在上何处时，的面积最大？ 分析：从条件看本题是一个几何问题，而从所求结论看是求最大值的代数问题，如果设，则点在边上的运动转化为的取值变化，并且图形中的存在条件制约了的取值，所以，这些都体现了位置关系与数量关系的转化. 的面积是常量，，，的面积都是变量，面积虽然是变量，但边上的高是常量，面积是变量，但变化中始终与相似，这些都是把几何问题转化为函数问题时常用的方法或技巧. 因此把几何问题转化为代数中的函数问题是指导我们思路的灵魂.为了实现这种转化，就要把静止转化为运动，把位置关系转化为数量关系，得出函数的解析式，这样，问题可以轻松得以解决. 解：设，的面积为. 　　作于， 则. ∴. ∴. ∵ ，∴∽ ∴. ∴. ∵ 即 . 　　∴ . 3、点的存在性问题 例3．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于、两点，其对称轴与轴交于点，连接． (1)点的坐标为_______ ，点的坐标为_______ ； (2)线段上是否存在点，使得为等腰三角形?若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点为轴上方的抛物线上的一个动点，连接、，若所得△PAC的面积为，则取何值时，相应的点有且只有2个? 分析：（2）先用待定系数法求出的解析式，然后分、和三种情况讨论． 解：（1）（3）略 （2）易得，CD=5．设直线 对应的函数关系式为，则 ∴． ①当时，∵，．∴，∴； ②当时，可得； ③当时，如图，， 则∽，∴． 即，，∴． 综上，符合条件的点有三个：，，． 4、三角形的存在性问题 例4．如图，抛物线与轴交、两点， 与轴交于点，设抛物线的顶点为． （1）求该抛物线的解析式与顶点的