带答案数学北师大版选修23计数原理原理练习题第一章52.docVIP

5.2　二项式系数的性质 一、基础过关 1． 已知(a＋b)n的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于 (　　) A．11 B．10 C．9 D．8 2． 已知\a\vs4\al\co1(\r(x3x))n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于 (　　) A．4 B．5 C．6 D．7 3． (x－1)11展开式中x的偶次项系数之和是 (　　) A．－2 048 B．－1 023 C．－1 024 D．1 024 4． (1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式中各项系数和为 (　　) A．2n＋1 B．2n－1 C．2n＋1－1 D．2n＋1－2 5． 若\a\vs4\al\co1(x＋\f(1x))n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 (　　) A．10 B．20 C．30 D．120 6． (1＋2x)n的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，展开式中二项式系数最大的项为第______项． 二、能力提升 7． 在\a\vs4\al\co1(\r(\f(151x3))n的展开式中，所有奇数项系数之和为1 024，则中间项系数是(　　) A．330 B．462 C．682 D．792 8． 如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3. 第0行　　　1 第1行　　　1　1 第2行　　　1　2　1 第3行　　　1　3　3　1 第4行　　　1　4　6　4　1 第5行　　　1　5　10　10　5　1 9． 已知(1＋2x)100＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a100(x－1)100，求a1＋a3＋a5＋…＋a99的值． 10．已知(1＋3x)n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中二项式系数最大的项． 11．设(1－2x)2 013＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 013·x2 013 (x∈R)． (1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 013的值； (2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 013的值； (3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 013|的值． 三、探究与拓展 12．已知(3x＋x2)2n的展开式的系数和比(3x－1)n的展开式的系数和大992，求\a\vs4\al\co1(2x－\f(1x))2n的展开式中： (1)二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项． 答案 1．D　2.C　3.C　4.D　5.B　6.6、7　7.B 8．34 9．解　令x＝2，可以得到5100＝a0＋a1＋a2＋…＋a100， ① 令x＝0，可以得到1＝a0－a1＋a2－…＋a100， ② 由①②得a1＋a3＋a5＋…＋a99 ＝12(5100－1)． 10．解　由题意知，Cnn＋Cn－1n＋Cn－2n＝121， 即C0n＋C1n＋C2n＝121， ∴1＋n＋n?n－1?2＝121，即n2＋n－240＝0，解得：n＝15或－16(舍)． ∴在(1＋3x)15展开式中二项式系数最大的项是第8、9两项，且T8＝C715(3x)7＝C71537x7，T9＝C815(3x)8＝C81538x8. 11．解　(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2 013＝(－1)2 013＝－1. ① (2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…－a2 013＝32 013. ② 与①式联立，①－②得 2(a1＋a3＋…＋a2 013)＝－1－32 013， ∴a1＋a3＋…＋a2 013＝－1＋32 0132. (3)Tr＋1＝Cr2 013(－2x)r＝(－1)r·Cr2 013(2x)r， ∴a2k－10，a2k0 (k∈N*)． ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 013| ＝a0－a1＋a2－…－a2 013 ＝32 013(令x＝－1)． 12．解　由题意得22n－2n＝992，解得n＝5. (1)\a\vs4\al\co1(2x－\f(1x))10的展开式中第6项的二项式系数最大，即T6＝C510·(2x)5·\a\vs4\al\co1(－\f(1x))5＝－8 064. (2)设第r＋1项的系数的绝对值最大， 则Tr＋1＝Cr10·(2x)10－r·\a\vs4\al\co1(－\f(1x))r ＝(－1)r·Cr10·210－r·x10－2r. ∴C\o\al(rr－110rr＋110)·210－r－1， 得C\o\al(rr