常考题型强化练——数列.docVIP

常考题型强化练——数列 　　　　　　　　　　　　　A组　专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1． 设等差数列{an}前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于 (　　) A．6 B．7 C．8 D．9 答案　A 解析　设该数列的公差为d， 则a4＋a6＝2a1＋8d＝2×(－11)＋8d＝－6，解得d＝2， ∴Sn＝－11n＋×2 ＝n2－12n＝(n－6)2－36， ∴当n＝6时，取最小值． 2． 已知{an}为等比数列，Sn是它的前n项和．若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5等于 (　　) A．35 B．33 C．31 D．29 答案　C 解析　设数列{an}的公比为q，则由等比数列的性质知， a2·a3＝a1·a4＝2a1，即a4＝2. 由a4与2a7的等差中项为知， a4＋2a7＝2×， ∴a7＝＝. ∴q3＝＝，即q＝， ∴a4＝a1q3＝a1×＝2， ∴a1＝16，∴S5＝＝31. 3． 数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6等于 (　　) A．3×44 B．3×44＋1 C．43 D．43＋1 答案　A 解析　由an＋1＝3Sn?Sn＋1－Sn＝3Sn?Sn＋1＝4Sn， ∴数列{Sn}是首项为1，公比为4的等比数列， ∴Sn＝4n－1，∴a6＝S6－S5＝45－44＝3×44. 4． 已知等差数列{an}的公差d＝－2，a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，那么a3＋a6＋a9＋…＋a99的值是 (　　) A．－78 B．－82 C．－148 D．－182 答案　B 解析　∵a3＋a6＋a9＋…＋a99 ＝(a1＋2d)＋(a4＋2d)＋(a7＋2d)＋…＋(a97＋2d) ＝a1＋a4＋a7＋…＋a97＋2d×33 ＝50＋66×(－2) ＝－82. 二、填空题(每小题5分，共15分) 5． (2011·广东)等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝________. 答案　10 解析　设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S9－S4＝0， 即a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝0,5a7＝0，故a7＝0. 而ak＋a4＝0，故k＝10. 6． 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n－an，则数列{an}的通项公式an＝______________. 答案　2－n－1 解析　由于Sn＝2n－an，所以Sn＋1＝2(n＋1)－an＋1，后式减去前式，得Sn＋1－Sn＝2－an＋1＋an，即an＋1＝an＋1，变形为an＋1－2＝(an－2)，则数列{an－2}是以a1－2为首项，为公比的等比数列．又a1＝2－a1，即a1＝1. 则an－2＝(－1)n－1，所以an＝2－n－1. 7． 已知等比数列中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则的值为________． 答案　3＋2 解析　设等比数列{an}的公比为q， ∵a1，a3,2a2成等差数列，∴a3＝a1＋2a2. ∴a1q2＝a1＋2a1q.∴q2－2q－1＝0.∴q＝1±. ∵各项都是正数，∴q＞0.∴q＝1＋. ∴＝q2＝(1＋)2＝3＋2. 三、解答题(共22分) 8． (10分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，a3＝5，S10＝100. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝2an＋2n，求数列{bn}的前n项和Tn. 解　(1)设等差数列{an}的公差为d， 由题意，得解得 所以an＝2n－1. (2)因为bn＝2an＋2n＝×4n＋2n， 所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝(4＋42＋…＋4n)＋2(1＋2＋…＋n) ＝＋n2＋n＝×4n＋n2＋n－. 9． (12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足：an＋2SnSn－1＝0(n≥2，n∈N)，a1＝，判断与{an}是否为等差数列，并说明你的理由． 解　因为an＝Sn－Sn－1(n≥2)， 又因为an＋2SnSn－1＝0， 所以Sn－Sn－1＋2SnSn－1＝0(n≥2)， 所以－＝2(n≥2)， 又因为S1＝a1＝， 所以是以2为首项，2为公差的等差数列． 所以＝2＋(n－1)×2＝2n，故Sn＝. 所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝， 所以an＋1＝， 而an＋1－an＝－ ＝＝. 所以当n≥2时，an＋1－an的值不是一个与n无关的常数，故数列{an}不是一个等差数列． 综上，可知是等差数