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第1讲　平面向量的概念及其线性运算 考点梳理 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫作向量的模． (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的加法与减法 向量运算 定　义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝ a＋(b＋c) 减法 向量a加上向量b的相反向量，叫作a与b的差，即a＋(－b)＝a－b 三角形法则 a－b＝a＋(－b) 3.向量的数乘运算及其几何意义 (1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|； ②当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0． (2)运算律：设λ，μ是两个实数，则 ①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③ λ(a＋b)＝λa＋λb. 4．共线向量定理 a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线． 考向一　平面向量的有关概念 【例1】给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则→＝→是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b. 其中正确命题的序号是________． 【训练1】 给出下列四个命题： ①a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；②任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四顶点；③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；④有相同起点的两个非零向量不平行． 其中所有正确命题的序号是________． 考向二　平面向量的线性运算 【例2】如图，在梯形ABCD中，|→|＝2|→|，M，N分别是DC，AB的中点．若→＝e1，→＝e2，用e1，e2表示→，→，→. 【训练2】 在△ABC中，→＝23→，DE∥BC交AC于点E，BC边上的中线AM交DE于点N.设→＝a，→＝b，用a，b表示向量→，→，→，→，→，→. 考向三　共线向量定理的应用 【例3】设两个非零向量a与b不共线． (1)若→＝a＋b，→＝2a＋8b，→＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线； (2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线． 【训练3】 若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，13(a＋b)三向量的终点在同一条直线上？ 考点自测 1．若向量a与b不相等，则a与b一定(　　)． A．有不相等的模 B．不共线 C．不可能都是零向量 D．不可能都是单位向量 2．若m∥n，n∥k，则向量m与向量k(　　)． A．共线 B．不共线 C．共线且同向 D．不一定共线 3．(2012·全国)△ABC中，AB边的高为CD，若→＝a，→＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则→＝(　　)． A.13a－13b B.23a－23b C.35a－35b D.45a－45b 4．D是△ABC的边AB上的中点，则向量→等于(　　)． A．－→＋12→ B．－→－12→ C.→－12→ D.→＋12→ 练习 1．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2→＋→＋→＝0，那么(　　)． A.→＝→ B.→＝2→ C.→＝3→ D．2→＝→ 2．已知→＝a，→＝b，→＝c，→＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则(　　)． A．a－b＋c－d＝0 B．a－b－c＋d＝0 C．a＋b－c－d＝0 D．a＋b＋c＋d＝0 3．已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若→＋2→＝3→，则BC→)AB→)的值为(　　)． A.12 B.13 C.14 D.16 4．(2011·山东)设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若→＝λ→(λ∈R)，→＝μ→(μ∈R)，且1λ＋1μ＝2，则称A3，A4调和分割A1，A2.已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下列说法正确的是(　　)． A．C可能是线段AB的中点 B．D可能是线段AB的中点 C．C、D可能同时在线段AB上 D．C、D不可能同时在线段AB的延长线上 5．设a，b是两个不共线向量，→＝2a＋pb，→＝a＋b，→＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为________． 6.如图，在矩形ABCD