广东大一学生数学竞赛试题(题目).docVIP

广东金融学院2007年数学竞赛试题参考答案 （出卷教师：春之歌） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 总分 得分 一、微积分部分（共4小题，每小题10分） 1、求不定积分 简要解答：令，然后分步积分，得 2．设，证明：当时，是 同阶但不等价的无穷小。 证明： 3．设试补充定义使得在上连续. 解 因为= = = = = 由于f(x)在上连续，因此定义，使f(x)在上连续. 4．求证方程有且只有一个实数根,其中常数满足. 证:令 则 , 由于 ,所以,函数在实数域上单调增加,又显见 , 由此该方程只有一个实数根. 6、(12`)求幂级数的和. 解: = 7、某厂生产两种产品，总收入与两种产品的产量和的函数关系是 总成本与产量和的函数关系是 （I）在产量和不受限制的情况下，该厂应如何确定两种产品的产量，才可获得最大的利润？ 最大利润是多少？ （II）若限于原料供应情况，要求两种产品的总产量固定为30不变时，又应如何安排生产，才可获得最大的利润？这时的最大利润是多少？ 由题意可知总利润函数，令 ，解得。 又产量和不受限制，所以计算表明当时可获得最大利润，且最大利润为 ，即为所求． （II）由题意得． 此时可引入拉格朗日函数，令 ，解得，。 所以当时可获得最大利润，且最大利润为， 二、线性代数部分：（共3小题，每小题10分） 5、设矩阵相似于对角矩阵，求． ， 解得： 又因为A可对角化，所以A的属于特征值的线性无关的特征向量有2个， 即有非零解． 所以，而，所以． 9、五、（12分）(取何值时，线性方程组 　 有唯一解、无解或无穷多解？在有无穷多解时，求其通解。 答：当(=-2时方程组无解。当(≠-2，(≠1时方程组有唯一解。当(=1时方程组有无穷多解。当(=1时方程组的通解为： 10、设A为三阶矩阵，是线性无关的三维列向量，且满足 ，，. (I) 求矩阵B, 使得； （II）求矩阵A的特征值； （I） ，可知． （II）因为是线性无关的三维列向量，可知矩阵可逆，所以 ，即矩阵A与B相似，由此可得矩阵A与B有相同的特征值. ，得矩阵B的特征值， 也即矩阵A的特征值为 11、设行向量组，，，线性相关，求 由题设，有 , 得 三、概率论与数理统计部分：（共3小题，每小题10分） 1、（12分）假设一部机器在一天内发生故障的概率是0.2。若一周5个工作日内无故障则可获10万元；若仅有1天故障则仍可获利5万元；若仅有两天发生故障可获利0万元；若有3天或3天以上出现故障将亏损2万元。求一周内的期望利润。（5.216万元） 解：设表示一周5个工作日机器发生故障的天数，则～，分布律为： 设（万元）表示一周5个工作日的利润，根据题意，的分布律 则（万元）。 2、（12分）将、、三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为0.8，而输出为其它一字母的概率都为0.1。今将字母，，之一输入信道，输入，，的概率分别为0.5，0.4，0.1。已知输出为，问输入的是的概率是多少？（设信道传输每个字母的工作是相互独立的）。 解：设分别表示输入，，的事件，表示输出为的随机事件。由贝叶斯公式得： 12、设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 1 b 0.1 已知随机事件与相互独立，则 （ ） (A) =0.2, b=0.3 　　 (B) =0.4, b=0.1 (C) =0.3, b=0.2 (D) =0.1, b=0.4 由题设，知，又事件与相互独立，于是有 即=，由此可解得=0.4, b=0.1． 13、设二维正态变量的边缘分布为，且， 求 因为，所以与相互独立，又， 则，所以． 14、设，相互独立，服从区间上的均匀分布，服从参