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广州高中数学奥赛班专题资料由数列的递推公式求通项公式
由数列的递推公式求通项公式
一 准备知识
所谓数列,简单地说就是有规律的(有限或无限多个)数构成的一列数,常记作{an},an的公式叫做数列的通项公式.常用的数列有等差数列和等比数列.
等差数列 等比数列 定义 数列{an}的后一项与前一项的差an-an-1为常数d 数列{an}的后一项与前一项的比为常数q(q≠0) 专有名词 d为公差 q为公比 通项公式 an=a1+(n-1)d an=a1·qn-1 前n项和 Sn= Sn= 数列的前n项和Sn与通项公式an的关系是:an=Sn-Sn-1(n≥2).
有些数列不是用通项公式给出,而是用an与其前一项或前几项的关系来给出的,例如:an+1=2an+3,这样的公式称为数列的递推公式.由数列的递推公式我们可以求出其通项公式.
数列问题中一个很重要的思想是把数列的通项公式或递推公式变形,然后将它看成新数列(通常是等差或等比数列)的通项公式或递推公式,最后用新数列的性质解决问题.
二 例题精讲
例1.(裂项求和)求Sn=.
解:因为an==
所以Sn==1-
例2.(倒数法)已知数列{an}中,a1=,an+1=,求{an}的通项公式.
解:
∴是以为首项,公差为2的等差数列,即+2(n-1)=
∴an=
练习1.已知数列{an}中,a1=1,Sn=,求{an}的通项公式.
解:
∴是以1为首项,公差为2的等差数列.
∴=1+2(n-1)=2n-1,即Sn=.
∴an=Sn-Sn-1==
∴an=
例3.(求和法,利用公式an=Sn-Sn-1,n≥2)已知正数数列{an}的前n项和Sn=,求{an}的通项公式.
解:S1=a1=,所以a1=1.
∵an=Sn-Sn-1 ∴2Sn=Sn-Sn-1+
∴Sn+Sn-1=,即Sn2-Sn-12=1
∴是以1为首项,公差为1的等差数列.
∴Sn2=n,即Sn=
∴an=Sn-Sn-1=-(n≥2)
∴an=-.
例4.(叠加法)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn-Sn-2=3×(-)n-1(n≥3),且S1=1,S2=-,求{an}的通项公式.
解:先考虑偶数项有:
S2n-S2n-2=-3·
S2n-2-S2n-4=-3·
……
S4-S2=-3·
将以上各式叠加得S2n-S2=-3×,
所以S2n=-2+.
再考虑奇数项有:
S2n+1-S2n-1=3·
S2n-1-S2n-3=3·
……
S3-S1=3·
将以上各式叠加得S2n+1=2-.
所以a2n+1=S2n+1-S2n=4-3×,a2n=S2n-S2n-1=-4+3×.
综上所述an=,即an=(-1)n-1·.
例5.(an+1=pan+r类型数列)在数列{an}中,an+1=2an-3,a1=5,求{an}的通项公式.
解:∵an+1-3=2(an-3)
∴{an-3}是以2为首项,公比为2的等比数列.
∴an-3=2n
∴an=2n+3.
练习2.在数列{an}中,a1=2,且an+1=,求{an}的通项公式.
解:an+12=an2+
∴an+12-1=(an2-1)
∴{an+12-1}是以3为首项,公比为的等差数列.
∴an+12-1=3×,即an=
例6(an+1=pan+f(n)类型)已知数列{an}中,a1=1,且an=an-1+3n-1,求{an}的通项公式.
解:(待定系数法)设an+p·3n=an-1+p·3n-1
则an=an-1-2p·3n-1,与an=an-1+3n-1比较可知p=-.
所以是常数列,且a1-=-.
所以=-,即an=.
练习3.已知数列{an}满足Sn+an=2n+1,其中Sn是{an}的前n项和,求{an}的通项公式.
解:∵an=Sn-Sn-1
∴Sn+Sn-Sn-1=2n+1
∴2Sn=Sn-1+2n+1
(待定系数法)设2(Sn+pn+q)=Sn-1+p(n-1)+q
化简得:-pn-p-q=2n+1,所以,即
∴2(Sn-2n+1)=Sn-2(n-1)+1,
又∵S1+a1=2+1=3,∴S1=,S1-2+1=
∴{Sn-2n+1}是以为公比,以为首项的等比数列.
∴S n-2n+1=,即Sn=+2n-1,an=2n+1-Sn=2-.
例7.(an+1=panr型)(2005年江西高考题)已知数列{an}各项为正数,且满足a1=1,an+1=.(1)求证:anan+12;(2)求{an}的通项公式.
解:(1)略.
(2)an+1=-(an-2)2+2
∴an+1-2=-(an-2)2
∴2-an+1=(2-an)2
∴由(1)知2-an0,所以log2(2-an+1)=log2(2-an)2=2·log2(2-an)-1
∴log2(2-an+1)-1=2[log
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