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总习题一解答 1. 用行列式定义计算。 分析：此行列式含零元素较多，对含零元素较多的行列式，可直接用定义计算，只需找出行列式中的非零项即可。 解：中第一行的非零元素只有，故只能取，同理由第，，…，行知 ，，…，，， 于是，，…，在可能取的数码中，只能组成一个级排列， 故中非零项只有一项，即 。 2. 计算下列行列式： ⑴ ； 解： 。 ⑵ ； 解：原式 ⑶ ； 解：注意到该行列式中每一列中的个元素之和都为，故将第，，…，行元素都加到第行上，得： 。 ⑷ 。 解：将第，，…，列都加到第列上，得： 。 3. 利用行列式的性质证明：。 证：左边 。 4. 已知，则中的系数是 。 解：按展开，得：，所以中的系数是。 另解：含的项是： ， 所以中的系数是。 5. 。 分析：先利用行列式的性质，把行列式的某行（列）的元素化为尽可能多的零，再按此行（列）展开以降低行列式阶数，将行列式转化为较低阶行列式来计算。 解：行列式中的第列的三个数分别与，，较接近，而第列的数与，，相近，故可把第列的倍及倍分别加至第列与第列，第列再提取公因数，便可化简计算，即 。 6. 计算下列行列式： ⑴ ； 分析：行列式所有行（或列）的对应元素相加后相等，可通过提取公因子将第行（或列）全部元素化为，再采用“化零”的方法来计算。 解：将的第、、行都加到第行，并从第行中提取公因子，得： ， 再将第、、列都减去第列，得： ， 把上面右端行列式第行加到第行中提取公因子，得： 。 ⑵ ； 分析：利用行列式的性质和按行（列）展开定理计算行列式。 解：按第一行展开： 。 ⑶ 。 解：第一行、第列均只有两个非零元素，可按第一行展开，得： 。 7. 计算下列行列式： ⑴ ； 分析：行列式所有行（列）对应元素相加后相等，可通过提取公因子将第行（或列）全部元素化为，再采用“化零”的方法即可计算之。 解：原式 （将行列式按第一列展开，得） （将各行加至第一行） （从第2行起，将各行都加上第1行） 。 ⑵ 。 分析：利用行列式的性质和按行（列）展开定理计算行列式。 解：先把第列的倍加到第，，列， 。 8. 计算下列行列式： ⑴ ； 解：用递推法，先按的第行展开，得： ， 于是得递推公式：，或， 递推下去得到：， 同样可得公式：， 递推下去得到：， ∵ ，，∴ ， 解方程组，得：。 ⑵ 。 解：按第行展开， ， 由得：原行列式。 9. 证明： ⑴ ； 分析：若一行列式的各行（列）都以第一行的升幂从上到下（从左到右）由到排列，则可利用范德蒙行列式的结论来计算。 本题可根据所给行列式的特点，通过构造辅助行列式来达到这一目的。 证：该行列式与范德蒙行列式很接近，仅缺少一次项，可通过构造辅助行列式来证明。 令，则， ⑴ 另一方面，按第列展开，得： ， 题设行列式正是，即的系数，展开⑴式，易得到的系数为： 。 ⑵ 设，则 。 证：此题由于主对角线上元素各不相同，尽管1较多，但用拆项及加减法都困难。 （这里，即第一行提取，第二行提取，…，最后一行提取） （这里把从第二行起，以后各行都加到第一行上） （这里提取第一行的，下一等式是将第一行乘以加到第二行，第一行乘以加到第三行，…，直至是将第一行乘以加到第行。） 。 10. 设，试求，其中为元素（）的代数余子式。 解：。 11. 已知四阶行列式，试求与，其中（）是中第四行第列元素的代数余子式。 解：由题设把此行列式按第四行展开，以及用第二行元素乘以对应第四行元素的余子式，得： ，由此解得：，。 12. 已知阶行列式，求代数余子式之和。 解：直接求出每个代数余子式的值，再求和计算过程较复杂，利用代数余子式的性质改变后的值不变。因而可构造行列式，使与的（，，…，）一样，通过计算。 构造行列式， ， 由于与的代数余子式，，…，是一样的，对按第一行展开，有 ， 所以 。 13. 用克莱姆法则解下列线性方程组： ⑴ ； 解：， ， ， ， ， ， ∴ ，，，，。 ⑵ 。 解： ， ， 同理可得：，，，， 所以，，，，，。 14. 设，求导函数的零点个数及其所在区间。 解：对行列式按第列展开，知是的次多项式，则是的次多项式，据罗尔定理，只要找到的几个根，也就知道的根所在的区间。 据范德蒙行列式知是的次多项式，且 ，其中 ， 由罗尔定理，在，，…，区间内至少各有的一个点，又是次方程，它只有个根。因此，上述各区间内有且仅有的一个零点。 15. 证明平面上三条不同的直线 ，， 相交于一点的充分必要