排列、组合63.docVIP

东北师大附中2011—2012学年高三数学（理）第一轮复习导学案063 排列与组合 编写教师：杨艳昌 审稿教师：刘彦永 一、知识梳理 （一）排列与排列数公式 1．排列:一般地，从n个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 相同排列的充要条件是元素完全相同，且元素的排列顺序也完全相同 2．排列数公式:从n个不同元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示. 公式：. 这里，并且，其中等式的右边是m个连续的自然数的乘积，最大的是n，最小的是n－m+1. n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列，n个不同元素全部取出的排列数，用符号表示，它等于自然数从1到n的连乘积，用n!表示. 规定： 排列数公式还可以写成 . 3．解排列问题的思想方法： （1）将具体问题抽象为排列问题，是解排列应用题的关键一步. （2）对于含有限制条件的排列问题，通常从以下三种途径考虑： ①元素分析法：先考虑特殊元素要求，再考虑其他元素； ②位置分析法：先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置； ③整体排除法：先算出不含有限制条件的排列数，再减去不满足限制条件的排列数. （二）组合与组合数公式 1．组合：从n个不同元素中，任取个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 排列与组合的共同点，就是“从n个不同元素中，任取m个元素”；不同点就是前者要求“按照一定的顺序排成一列”，而后者却是“不论怎样的顺序并成一组”. 2．组合数：从n个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示. 组合数公式：，规定： 3．组合数性质： ①; ②; 说明：（1）计算，当时，可改为计算，从而使运算简化. （2）公式主要用于含组合数的化简问题和一些数列的求和问题. （3）补充结论：. 二、题型探究 题型一：排列数公式、组合数公式及性质的应用 例1（1）解方程： （2）解不等式. (3 ) 求值 （4）求证： 解：（1）由排列数公式，原方程可化为, 化简得，解得， ∵ 且, ∴原方程的解是: （2）解： 整理得，即，又且 所以 （3）. 又，依次递推可得 . （4）证明：∵， = 题型二：排列问题 例2　用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的自然数. （1）能组成多少个四位数？ （2）能组成多少个六位奇数？ （3）能组成多少个能被25整除的四位数？ （4）能组成多少个比201345大的数？ （5）能组成多少个十位数字比个位数字大的四位偶数？ 解：（1）因为千位上数字不能是0，所以千位上的排法有种，其余三位上的排法有种，共可组成.=300个四位数. （2）首位与个位的位置是特殊位置，0，1，3，5是特殊元素，先排个位，有种不同的排法，再考虑首位，有种不同的排法；其余四个位置的排法有种，故能组成=288个六位奇数. （3）能被25整除的四位数的特征是末位的两位数字是25或50，这两种形式的四位数依次有，所以，能组成个能被25整除的四位数. （4）因为201345除首位数2以外，其余5个数字顺次递增排列，所以201345是首位数是2的没有重复数字的最小六位数，比它小的六位数是首位数为1的六位数，共有个，而由0、1、2、3、4、5组成的无重复数字的六位数有个，所以大于201345的没有重复数字的六位数共有个. （5）末位是0的有个；末位是2的，有个；末位是4的有个，所以十位数字比个位数字大的四位偶数共有个。 例3 有3名男生，4名女生，全体排成一行，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数. (1)甲只能在中间或者两端位置. (2)甲不在最左边，乙不在最右边. (3)男生必须排在一起. (4)男、女各不相邻. (5)男生不能排在一起. (6)若男生已经站好，不改变男生原有顺序，女生有几种站法？ 解：(1)利用元素分析法，甲为特殊元素，故先安排甲左、右、中共三个位置可供甲选择.有A种，其余6人全排列，有A种.由乘法原理得AA=2160种. (2)位置分析法. 先排最左边，除去甲外，有A种，余下的6个位置全排有A种，但应剔除乙在最右边的排法数AA种.则符合条件的排法共有AA－AA=3720种. (3)捆绑法. 将男生看成一个整体，进行全排列.再与其他元素进行全排列.共有AA=720种. (4)插空法. 先排好男生，然后将女生插入其中的四个空位，共有AA=144种. (5)插空法. 先排女生，然后在空位中插入男生，共有AA=1440种. （6）定序排列：840种 题型三：组合问题 例4 200件产品中有5件是次品，现从中