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排列组合和项式定理(5课)排列
课 题:?10 2排列 (三)
教学目的:
1熟练掌握排列数公式;
2.熟悉并掌握一些分析和解决排列问题的基本方法;
3.能运用已学的排列知识,正确地解决简单的实际问题
教学重点:分析和解决排列问题的基本方法
教学难点:分析和解决排列问题的基本方法
授课类型:新授课
课时安排:1课时
教 具:多媒体、实物投影仪
教学过程:
一、复习引入:
1 分类计数原理:做一件事情,完成它可以有n类办法,在第一类办法中有种不同的方法,在第二类办法中有种不同的方法,……,在第n类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有 种不同的方法
2.分步计数原理:做一件事情,完成它需要分成n个步骤,做第一步有种不同的方法,做第二步有种不同的方法,……,做第n步有种不同的方法,那么完成这件事有 种不同的方法
3.排列的概念:从个不同元素中,任取()个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列,叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列
说明:(1)排列的定义包括两个方面:①取出元素,②按一定的顺序排列;
(2)两个排列相同的条件:①元素完全相同,②元素的排列顺序也相同
4.排列数的定义:从个不同元素中,任取()个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数,用符号表示
5.排列数公式:()
说明:(1)公式特征:第一个因数是,后面每一个因数比它前面一个
少1,最后一个因数是,共有个因数;
(2)全排列:当时即个不同元素全部取出的一个排列
全排列数:(叫做n的阶乘)
6 阶乘的概念:个不同元素全部取出的一个排列,叫做个不同元素的一个全排列,这时;把正整数1到的连乘积,叫做的阶乘表示: , 即规定.
7.排列数的另一个计算公式:=
二、讲解范例:
例1.(1)有5本不同的书,从中选3本送给3名同学,每人各1本,共有多少种不同的送法?
(2)有5种不同的书,要买3本送给3名同学,每人各1本,共有多少种不同的送法?
解:(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学,对应于从5个元素中任取3个元素的一个排列,因此不同送法的种数是:,所以,共有60种不同的送法
(2)由于有5种不同的书,送给每个同学的1本书都有5种不同的选购方法,因此送给3名同学,每人各1本书的不同方法种数是:,所以,共有125种不同的送法
说明:本题两小题的区别在于:第(1)小题是从5本不同的书中选出3本分送给3位同学,各人得到的书不同,属于求排列数问题;而第(2)小题中,给每人的书均可以从5种不同的书中任选1种,各人得到那种书相互之间没有联系,要用分步计数原理进行计算
例2.某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号,每次可以任意挂1面、2面或3面,并且不同的顺序表示不同的信号,一共可以表示多少种不同的信号?
解:分3类:第一类用1面旗表示的信号有种;
第二类用2面旗表示的信号有种;
第三类用3面旗表示的信号有种,
由分类计数原理,所求的信号种数是:,
答:一共可以表示15种不同的信号
例3.将位司机、位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上,每一辆汽车分别有一位司机和一位售票员,共有多少种不同的分配方案?
分析:解决这个问题可以分为两步,第一步:把位司机分配到四辆不同班次的公共汽车上,即从个不同元素中取出个元素排成一列,有种方法;
第二步:把位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上,也有种方法,
利用分步计数原理即得分配方案的种数
解:由分步计数原理,分配方案共有(种)答:共有576种不同的分配方案
例4.用0到9这10个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数?
解法1:用分步计数原理:
所求的三位数的个数是:
解法2:符合条件的三位数可以分成三类:每一位数字都不是0的三位数有个,个位数字是0的三位数有个,十位数字是0的三位数有个,
由分类计数原理,符合条件的三位数的个数是:.
解法3:从0到9这10个数字中任取3个数字的排列数为,其中以0为排头的排列数为,因此符合条件的三位数的个数是-.
说明:解决排列应用题,常用的思考方法有直接法和间接法直接法:通过对问题进行恰当的分类和分步,直接计算符合条件的排列数如解法1,2;间接法:对于有限制条件的排列应用题,可先不考虑限制条件,把所有情况的种数求出来,然后再减去不符合限制条件的情况种数如解法3.对于有限制条件的排列应用题,要恰当地确定分类与分步的标准,防止重复与遗漏
例5.(1)7位同学站成一排,共有多少种不同的排法?
解:问题可以看作:7个元素的全排列=5040.
(2)7位同学站成两排(前3后4),共有多少种不同的排法?
解:根据分步计数原理:7×6×5×4×3×2×1=7!=5040.
(3)7位同学站成一排,其中甲站在中间的位置,共有多少种不同的排法?
解:问题可以看作
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