排列组合和项式定理(8课)组合.docVIP

课 题：?10 3组合 (二) 教学目的： 1掌握组合数的两个性质，并能运用组合数的性质进行化简； 2. 进一步理解排列与组合的区别和联系，熟练掌握组合数的计算公式，并且能够运用公式解决一些简单的应用问题 教学重点：组合数的性质 教学难点：组合数的性质 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，……，在第n类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有 种不同的方法 2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事有 种不同的方法 3．排列的概念：从个不同元素中，任取（）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列 4．排列数的定义：从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示 5．排列数公式：（） 6阶乘：表示正整数1到的连乘积，叫做的阶乘规定． 7．排列数的另一个计算公式：= 8组合的概念：一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合 说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同 9．组合数的概念：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从 个不同元素中取出个元素的组合数．用符号表示． 10．组合数公式： 或 二、讲解新课： 1 组合数的性质1：． 一般地，从n个不同元素中取出个元素后，剩下个元素．因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n ( m个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出n ( m个元素的组合数，即：．在这里，主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想 证明：∵ 又 ，∴ 说明：①规定：； ②等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标； ③此性质作用：当时，计算可变为计算，能够使运算简化. 例如＝＝=2002； ④或． 2．组合数的性质2：＝+． 一般地，从这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是，这些组合可以分为两类：一类含有元素，一类不含有．含有的组合是从这n个元素中取出m (1个元素与组成的，共有个；不含有的组合是从这n个元素中取出m个元素组成的，共有个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想． 证明： ∴＝+． 说明：①公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数； ②此性质的作用：恒等变形，简化运算 三、讲解范例： 例1．一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球， （1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ （2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ （3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 解：（1）,或，；（2）；（3）． 例2．（1）计算：； （2）求证：＝++． 解：（1）原式； 证明：（2）右边左边 例3．解方程：（1）；（2）解方程：． 解：（1）由原方程得或，∴或， 又由得且，∴原方程的解为或 上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把和代入检验,这样运算量小得多. （2）原方程可化为，即，∴， ∴， ∴，解得或， 经检验：是原方程的解 四、课堂练习： 1．方程的解集为（ ） ． ． ． ． 2．式子（）的值的个数为 （ ） ． ． ． ． 3．化简： ； 4．若，则的值为 ； 5．有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是 ； 6．要从5件不同的礼物中选出3件分送3位同学，不同的方法种数是 ； 7．5名工人分别要在3天中选择1天休息，不同方法的种数是 ； 8．集合有个元素，集合有个元素，从两个集合中各取出1个元素，不同方法的种数是 ． 9．从这个数中选出2个不同的数，使这两个数的和为偶数，有_ 种不同选法 10．正12边形的对角线的条数是 ． 11．已知，求的值； 12．解方程：． 13．6人同时被邀请参加一项活动，必须有人去，去几人自行决定，共有多少种不同的去法？ 14．在所有的三位数中，各位数字从高到低顺次减小的数共有 个 答案：