排列组合和项式定理(课)小结与复习.docVIP

课 题：?小结与复习 (二) 教学目的： 1正确运用二项式定理,解决与之相关的恒等式证明问题,进一步熟悉二项展开式通项公式,灵活地应用于复杂的多项式中,求某些项系数的问题 2.会利用二项式定理解决某些整除性问题 教学过程： 一、知识点： 1．二项式定理及其特例： （1）， （2） 2．二项展开式的通项公式： 3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 4二项式系数表（杨辉三角） 展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 5．二项式系数的性质： 展开式的二项式系数是，，，…，．可以看成以为自变量的函数，定义域是，例当时，其图象是个孤立的点（如图） （1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵）． 直线是图象的对称轴 （2）增减性与最大值：当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值 （3）各二项式系数和： ∵， 令，则 二、讲解范例： 例1．①计算: ②计算: 分析：本例是二项式定理的逆用.若正用二项式定理,亦可求解,但过程较繁 解： ① ＝ ② ＝＝ 例2． 证明恒等式: 分析:本题的证明方法值得注意,它是对二项式定理中的、取某些特殊值. 证明：左边＝＝右边 引伸:化简 解: ＝ 例3． 求证能被64整除 分析:考虑到用二项式定理证明,就需要多项式展开后的各项尽量多的含有的式子.因此,可将化成再进行展开,化简即可证得 证明：∵ ＝ ＝ ＝ ∴多项式展开后的各项含有 ∴能被64整除 引伸:①求证能被10整除;②求除以9的余数 例4. 求的展开式中的系数 解:利用通项公式,则 的通项公式, 的通项公式, 令,则或或 从而的系数为 引伸:求的展开式中的系数 ( 答案:207 ) 例5． 求的展开式中的常数项和有理项 解:设展开式中的常数项为第项,则 (*) 由题意得,解得 所以展开式中的常数项为第7项 由题意可得,即是6的倍数,又因为,所以=0,6,12故展开式中的有理项为,, 三、课堂练习： 1.从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（ ） A.8种 B.12种 C.16种 D.20种 分析：两个面不相邻，只能对面，中间再夹一个面.第一步，正方体两平面相对有3种不同情况，中间可以夹剩下的4个中的任意一个，又有4种不同的情况，这两步都完成，事情完成，用分步计数原理 答案选B 2.一名数学教师和四名获奖学生排成一行留影，若老师不排在两端，则共有_____种不同的排法 分析：（法一）、从特殊元素出发，由于数学教师是特殊元素，所以他除了两端外，还有3个位置可排共有种排法，然后排学生共有种排法，由分步计数原理可得答案是72 （法二）从特殊位置出发，由于两端是特殊位置，除数学教师外先从四名学生中选2人排在两端共有种排法，然后剩余的学生及老师排剩余的位置共有A种排法.由分步计数原理可得答案是72 3. 由数字1、2、3、4、5、6、7组成无重复数字的七位数 （1）求有3个偶数相邻的7位数的个数； （2）求3个偶数互不相邻的7位数的个数 答案：用捆绑法可得（1）为720个；用插空法可得（2）为1440个. 4. 从5男4女中选4位代表，其中至少有2位男同志，且至少有1位女同志，分别到4个不同的工厂调查，不同的分派方法有（ ） A.100种 B.400种 C.480种 D.2400种 解：分两种情况，采取先取后排的思想可得符合要求的选法共有 （种） 5. 四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法有________种 解：取出的4点不共面比取出的4点共面的情形要复杂，因此宜用间接法：用任意取出四点的组合总数减去这四点共面的取法数.取出四点共面时有三种可能第一类：四点共面于四面体的某一个面时，有4种取法；第二类：由四面体的一条棱上三点及对棱中点所确定的平面有6个；第三类：过四面体中的四条棱的中点，而与另外两条棱平行的平面有3个.故取4个点不共面时的不同取法有 6.已知碳元素有3种同位素12C、13C、14C，氧元素也有3种同位素16O、17O、18O，则不同的原子构成的CO2分子有（ ） A.81种 B.54种 C.27种 D.9种 解：分步计数原理，先选碳原子，再选第一个氧原子，第二个氧原子 所以（种） 7.用1、2、3、4、5、6六个数字组成没有重复数字的四位数中，是9的倍数的共有（ ） A.360个 B.180个