排列组合常见解题错误剖析(蒋政).docVIP

排列组合常见解题错误剖析 ?排列组合是高中数学中较难学的内容之一.它与其他知识联系较少，内容比较抽象.解决排列组合问题对学生的抽象思维能力和逻辑思维能力要求较高.通过多年的教学我们会发现，学生解决排列组合问题时出现的错误往往具有普遍性，因此，分析学生解题中的这些常犯错误，充分暴露其错误的思维过程，使学生认识到出错的原因，可使他们在比较中对正确的思维过程留下更深刻的印象，从而有效地提高解题准确率，这应是教师在进行排列组合教学与复习时不可或缺的一个环节. 学生在解排列组合题时常犯以下几类错误： 1、“加法”、“乘法”原理混淆；2、“排列”、“组合”概念混淆； 3、重复计数；4、漏解. 本文拟就学生在排列组合问题上的常犯错误归纳分析如下： 1.“加法”、“乘法”原理混淆 两个原理的区别在于一个和分类有关，一个与分步有关.如果完成一件事有类方法，这类方法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类计数原理；如果完成一件事有个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法数就用分步计数原理. 【例1】（93年高考题21）50件产品中有4件次品，从中任意抽出5件，其中至少有3件次品的抽法有_______种.（注：所选高考题为理科题，以下同） 〖错解〗有＝46575种. 〖错因〗分类与分步概念不清，即加法原理与乘法原理混淆. 〖正解〗分为二类：第一类，先取3件次品，再取2件正品，其抽法有（分两步，用乘法原理）种；第二类，有4件次品的抽法同理有种，最后由加法原理，不同的抽法共有+＝4186种. 【例2】（91年高考题10）从4台甲型与5台乙型电视机中任选出3台，其中至少要有甲、乙型机各一台，则不同的取法共有（　　） （A）140种 （B）84种 （C）70种 （D）35种 〖错解〗有＝300种选法. 〖错因〗同例1. 〖正解〗（合理分类，合理使用两个基本原理）从4台甲型机中选2台，5台乙型机中选1台；或从4台甲型机中选1台，5台乙型机中选2台，共有＝70种选法.所以选C . 2．“排列”、“组合”概念混淆 界定排列与组合问题是排列还是组合？唯一的标准是“顺序”，“有序”是排列问题，“无序”是组合问题，排列与组合问题并存，解答时，一般采用先组合后排列的方法. 【例3】（题目见上例） 〖错解〗有＝140种选法，答A . 〖错因〗元素与顺序无关，应是组合问题. 【例4】（94年高考题10）有甲、乙、丙3项任务，甲需要2人承担，乙、丙各需要1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有（ ）种. (A) 1260 (B) 2025 (C) 2520 (D) 5040 〖错解一〗分三步完成：首先从10人中选出4人，有种方法；再从这4人中选出二人承担任务甲，有种方法；剩下的两人去承担任务乙、丙，有种方法，由乘法原理，不同的选法共有＝5040种，选D. 〖错因〗“排列” 、“组合”概念混淆不清.承担任务甲的两人与顺序无关，此处应是组合问题，即应为. 〖错解二〗分三步完成，不同的选法共有＝1260种，选A. 〖错因〗剩下的两人去承担任务乙、丙，这与顺序有关，此处应是排列问题，即应为. 〖正解一〗不同的选法有＝2520种. 〖正解二〗先从10人中选出2人承担任务甲；再从余下8人中选出一人承担任务乙；最后从剩下的7人中选出一人去承担任务丙，由乘法原理，不同的选法有＝2520种. 〖正解三〗从10人中选出2人承担任务甲；再从余下8人中选出二人承担任务乙、丙，由乘法原理，不同的选法有＝2520种，选C. 【例5】从4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的3块土地上进行试验，有多少种种植的方法. 〖错解〗有=4 种. 〖错因〗3个品种种在不同土质的3块土地上，有不同的种植顺序，应是排列问题. 〖分析〗对这类既含组合，又含排列的问题，其解答思路是“先组合，后排列”，即“先选后排”. 〖正解〗有＝24（或=24）种植方法. 3、重复计数出增解 【例6】（题目同例2） 〖错解〗从甲、乙型机中各取1台，再由余下的7台机子中取1台，有=140种选法.所以选A. 〖错因〗若从甲型机中选出的是机和机，依错解会出现先取机后取机和先取机后取机两种情形，显然两种取法的结果是相同的，但却作为两种不同取法重复进行了计数，即由于组合问题的无序性，使不同的组合方式，产生了相同的结果. 〖正解一〗（注意到错解正好多算一倍）. 〖正解二〗有=70种选法,所以选C. 【例7】（95年高考题12）四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法有________种. 〖错解一〗从4只盒子中取出三