接本考试经管类线性代数6.pptVIP

* * * * 第三章 向量空间 3.1 n维向量概念及其线性运算 3.1.1 n维向量及其线性运算 定义 由n个数 组成的有序数组 称为一个n维向量， 数 称为该向量的第i个分量 向量通常写成一行： 称为行向量， 有时也写成一列： 称为列向量。 也是1×n矩阵， 也是n×1矩阵， 既然向量又是一种特殊的矩阵， 则向量相等、零向量、负向量的定义及向量 运算的定义都应与矩阵的相应的定义一致。 定义 所有分量都是零的n维向量称为n维零向量。 零向量记作 注意：不同维数的零向量是不相等的。 把向量 的各个分量都取相反数组成的向量， 称为 的负向量， 记作 定义 如果n维向量 与n维向量 的对应分量都 即 相等， ，则称向量 与 相等， 记作 定义 （向量的加法） 设n维向量 ，则 与 的和向量 利用负向量的概念，可以定义向量的减法： 定义（数与向量的乘法） 设 是一个n维向量， k为一个数， 则数k与 的乘积称为数乘向量， 简称为数乘， 记作 ，并且 例1 设 ，求向量 解 例2 设 求满足 的 解 3.1.2 向量的线性组合 1、向量的线性组合 定义 设 是一组n维向量， 是一组常数， 则称 为 的一个线性组合。 常数 称为该线性组合的组合系数。 若一个n维向量 可以表示成 则称 是 的线性组合， 或称 可用 线性表出 或线性表示） 仍称 为组合系数， 或表出系数。 零向量可以用任意一组同维数的向量线性表出： 称它为零向量的平凡表出式。 这说明： 表出系数可以全为零。 表出系数全为零时被表出的向量必是零向量。 若干个同维数的向量所组成的集合叫做向量组。 m个向量 组成的向量组可记为： 或 例3 设 ，将A按行分块可得一个n维行向量组 称之为A的行向量组； 将A按列分块可得一个m维列向量组 称之为A的列向量组。 考虑下面的n维标准单位向量组： 中第i个分量为1， 其余分量都为0. 任意一个n维向量 都可以唯一地表示成这n个标准单位向量 的线性组合： 3、线性组合的矩阵表示法 向量 可用向量组 线性表出的充分必要条件是 存在m个数 ，使得 怎样用向量组 线性表示 ，即求出 ，怎样求出 转化为求非齐次线性方程组的解， 例5 问 能否表示成 的线性组合？ 解 通解方程组为 即方程组的唯一解， 所以 能唯一表示成 的线性组合。 例6 问 能否表示成 的线性组合？ 解 同解方程组为 取 所以 能表示成 的线性组合，且方法有很多。 ，则有 K可任意取值 3.2 线性相关与线性无关 3.2.1 线性相关性概念 定义 是m个n维向量， 如果存在m个不全为零的数 使得 ，则称向量组 线性相关， 为相关系数。 否则， 称向量组 线性无关。 设 称 定义 设 是一个n维向量组。 若 仅当 时成立， 则称向量组 线性无关。 判断线性相关性的方法： 1、一个向量 单个向量 线性相关 单个向量 线性无关 2、两个向量 两个向量线性相关的充要条件为 对应分量成比例。 线性无关 线性相关 P94 1(5) 3、三个及三个以上向量 （1）向量个数和向量维数相等 例 问向量组 是否线性相关。 解 设 即 系数行列式 所以此线性方程组只有零解， 这说明 线性无关。 方法： 计算由每个列向量作为一列的行列式的值， 若不等于0， 线性无关。 若等于0， 线性相关。 P94 1(1) （2）向量个数大于向量维数 不需判断，肯定线性相关 P94 1(6) （3）向量个数小于向量维数 方法： 向量组的秩小于向量的个数， 线性相关 向量组的秩等于于向量的个数， 线性无关 例 问向量组 是否线性相关。 解: 所以 ，及向量组的秩也为2， 小于向量的个数， 所以向量组线性相关。 怎样求出相关系数 已知向量组 试讨论其线性相关性。 若线性相关， 则求出一组不全为零的数 使得 解： 设 即 因为 所以方程组有非零解。 故向量组线性相关。 方程组的同解方程组为： 令 ，可得一组解为 ，即 ，得 例 若 线性无关， 证明以下向量组线性无关： 证 设 ，将已知条件代入得 整理得 因为 线性无关， 必有， 解得 ，所以 线性无关。 定理 m个n维向量 线性相关 至少存在某个 是其余向量 的线性组合。 即， 线性无关 任意一个 都不能表示为其余向量的线性组合。 定理 如果向量组 线性无关 ，而添加一个同维向量 后所得到的向量组