数值分析原理课件第二章.docVIP

第二章　非线性方程数值解法 在科学计算中常求解非线性方程 2.1) 即求函数的零点．，使它逐步逼近于方程(2.1)的某个解．本章介绍非线性方程实根的数值求解算法：二分法、简单迭代法、迭代法及其变形，并．2.1　二分法 一、实根的隔离 定义2.1设非线性方程(2.1)是连续函数．如果有使，则称为方程(2.1)的根，或称为函数的零点如果，且在邻域内连续，，为正整数，则称为方程(2.1)的重根当时，称为方程的单根． 非线性方程根的求解包含以下两步用区间根值； 选用种数值方法精度． ，也可以从两个端点函数值符号确定出有根区间． 当函数连续时，区间有哪些信誉好的足球投注网站法是有效的较小有根区间的方法，其具体做法如下设是方程(2.1)的一个较大有根区间，选择合适的步长，，．由左向右逐个计算，如果，则就是方程的一个有根区间． 一般情况下，只要足够小，就能把方程的更小的有根区间分离出来如果有根区间足够小，区间内任意一点可视为方程(2.1)根一个近似． 例2.1方程的有根区间． 解由为单调递增函数，在内最多只有一个实根．，，所以在区间内有惟一实根．如果希望将有根区间再缩小，可以取步长，在点，计算出函数值的符号，区间内有一个根． 二分法是求非线性方程根的最简单的方法．其基本思想是将有根区间分半，通过判别函数值的符号，缩小有根区间，直到，从而得到满足一定精度要求的根近似值 设上连续，，且方程在区间有惟一根．记，中点将区间分为两个小区间和，计算，如下3种情况 (1) 如果，则是所要求的根； 2) 如果，； 3) 如果，新的有根区间． 有根区间的长度为原有根区间的一半．对有根区间施以同样的，即用中点将区间再分为两半，新的有根区间，并记为，其长度为的一半(如图2.1所示) 图2.1 重复上述过程，区间 其中每个区间的长度都是前一个区间长度的一半，因此的长度为 和， 当时，显然，有．如下收敛定理定理设在根区间上连续，，则由二分法产生的序列收敛于方程(2.1)上的根，并且有误差估计 (2.2) 的绝对误差限为，，只要成立，这样求得对分次数 ．为大于的最小整数．此时是方程(2.1)的满足精度要求的根近似值． 注：由于舍入误差和截断误差存在，利用浮点运算不可能精确计算函数值，二分法中的判断几乎不可能满足，取而代之为判断条件，其中为根近似值的函数值允许误差限． 总结以上内容，给出如下算法 算法2.1 (二分法)输入端点误差、根近似值的函数值允许误差限； 输出近似解或失败信息 Step 1　用公式(2.3)计算最大迭代次数； Step 2　对Step 3～ Step 3　，计算； Step 4　若，则输出，endStep 5　若，则，否则例2.2用二分法求在上的根，要求． 解由于在区间上，，，，故在上有惟一实根．，利用二分法计算结果表2.1．二分法计算结果 有根区间 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 [1.0,2.0] [1.0,1.5] [1.25,1.5] [1.25,1.375] [1.3125,1.375] [1.343725,1.375] [1.359375,1.375] [1.359375,1.3671875] [1.3632813,1.3671875] [1.3632813,1.3652344] [1 1.3652344] 1.5 1.25 1.375 1.3125 1.34375 1.359375 1.3671875 1.3632813 1.3652344 11.364746125 2.375 –1.796895 0.1621094 –0.8483887 –0.3509827 –0.0964088 0.0323558 –0.0321500 0.0000720 –0.0160460 –0.0079887 二分法优点计算简单，对函数的要求不高，只要连续，收敛就可以保证；缺点只能求实根和奇数重实根，收敛较慢，与为公比的等比级数相同． 　　当函数连续时，方程(2.1的实单根． 一般在求方程近似时不单独使用，常用为其它方法提供初值． 2.2　简单迭代法 简单迭代法是求解非线性方程根的近似值的一类重要数值方法． 一、简单迭代法的基本思想 简单迭代法逐逼近的方程初始值，然后公式反复校正，直到满足预先给出的精度要求为止．在给定有根区间上，将方程(2.1)等价变形为 (2.) 在上选作为初始值，如下　　()