数列的通项公式与数列求和.docVIP

一、选择题 1．已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10，则a2 012＝(　　) A．2 010　　　　　　　　　B．2 012 C．－2 010 D．－ 2012 解析：设等差数列{an}的公差为d， 则由已知条件可得， 解得 所以数列{an}的通项公式为an＝－n＋2. 故a2 012＝－2 012＋2＝－2 010. 答案：C 2．(2012年高考福建卷)数列{an}的通项公式an＝ncos ，其前n项和为Sn，则S2 012等于(　　) A．1 006 B．2 012 C．503 D．0 解析：用归纳法求解． ∵an＝ncos ，∴a1＝0，a2＝－2，a3＝0，a4＝4，a5＝0，a6＝－6，a7＝0，a8＝8，…. 由此易知a4n－2＝－(4n－2)，a4n＝4n， 且a1＋a2＋a3＋a4＝－2＋4＝2，a5＋a6＋a7＋a8＝－6＋8＝2，…，a4n－3＋a4n－2＋a4n－1＋a4n＝－(4n－2)＋4n＝2. 又2 012＝4×503， ∴a1＋a2＋…＋a2 012＝2＋2＋…＋2,\s\do4(503个))＝2×503＝1 006. 答案：A 3．(2012年海淀模拟)若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N*)，则数列{an}的前n项和数值最大时，n的值为(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：∵an＋1－an＝－3，∴数列{an}是以19为首项，－3为公差的等差数列， ∴an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n. 设前k项和最大，则有 ∴ ∴≤k≤， ∵k∈N*，∴k＝7. 故满足条件的n的值为7. 答案：B 4．在公差为d，各项均为正整数的等差数列{an}中，若a1＝1，an＝51，则n＋d的最小值为(　　) A．14 B．16 C．18 D．10 解析：由题意得1＋(n－1)d＝51， 即(n－1)d＝50，且d0. 由(n－1)＋d≥2＝2(当且仅当n－1＝d时等号成立)， 得n＋d≥10＋1，因为n，d均为正整数， 所以n＋d的最小值为16，选B. 答案：B 5．(2012年高考浙江卷)设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误的是(　　) A．若d0，则数列{Sn}有最大项 B．若数列{Sn}有最大项，则d0 C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*，均有Sn0 D．若对任意n∈N*，均有Sn0，则数列{Sn}是递增数列 解析：利用函数思想，通过讨论Sn＝n2＋(a1－)n的单调性判断． 设{an}的首项为a1，则Sn＝na1＋n(n－1)d＝n2＋(a1－)n.由二次函数性质知Sn有最大值时，则d0，故A、B正确；因为{Sn}为递增数列，则d0，不妨设a1＝－1，d＝2，显然{Sn}是递增数列，但S1＝－10，故C错误；对任意n∈N*，Sn均大于0时，a10，d0，{Sn}必是递增数列，D正确． 答案：C 二、填空题 6．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n－an，则数列{an}的通项公式为________． 解析：由于Sn＝2n－an，所以Sn＋1＝2(n＋1)－an＋1，后式减去前式，得Sn＋1－Sn＝2－an＋1＋an，即an＋1＝an＋1，变形为an＋1－2＝(an－2)，则数列{an－2}是以a1－2为首项，为公比的等比数列．又a1＝2－a1，即a1＝1.则an－2＝(－1)·()n－1，所以an＝2－()n－1. 答案：2－()n－1 7．(2012年高考江西卷)等比数列{an}的前n项和为Sn，公比不为1.若a1＝1，则对任意的n∈N*，都有an＋2＋an＋1－2an＝0，则S5＝________． 解析：利用“特殊值”法，确定公比． 由题意知a3＋a2－2a1＝0，设公比为q，则a1(q2＋q－2)＝0.由q2＋q－2＝0解得q＝－2或q＝1(舍去)，则S5＝＝＝11. 答案：11 8．流行性感冒(简称流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病．某市去年11月份曾发生流感，据资料记载，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，以后每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人．由于该市卫生部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市在这30天内感染该病毒的患者共有8 670人，则11月________日，该市感染此病毒的新患者人数最多． 解析：设该市11月n日新感染者有an人，在11月(x＋1)日开始控制病毒的传播，其中x∈N*，则由题意可知：an＝从而由条件得·x＋·(30－x)＝8 670，解之得x＝12或x＝49(舍去)，故易知11月12日，该市感染此病毒的新患者人数最多． 答案：12