数学人教A版必修5第二章24等比数列(第2课时).docVIP

第2课时　等比数列的性质 1．复习巩固等比数列的概念及其通项公式． 2．掌握等比中项的应用． 3．掌握等比数列的性质，并能解决有关问题． 1．等比数列的定义及通项公式 【做一做1】 等比数列{an}的公比q＝3，a1＝，则a5等于(　　) A．3 B．9 C．27 D．81 2．等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成________，那么G叫做a，b的等比中项，这三个数满足关系式________． 【做一做2】 已知10是a与20的等比中项，则a＝__________. 答案：1．同一个常数　公比　q　an＝a1qn－1　an＝an－1q 【做一做1】 C 2．等比数列　G2＝ab 【做一做2】 5 1．等比数列的性质 剖析：已知等比数列{an}中，首项为a1，公比为q(q≠0)，则an＝a1·qn－1. (1)当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，数列{an}是递增数列；当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，数列{an}是递减数列；当q＝1时，数列{an}是常数列；当q＜0时，数列{an}是摆动数列(它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶数项异号)． (2)an＝am·qn－m(m，n∈N*)． (3)当m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)时，有am·an＝ap·aq. (4)数列{an}是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项之积，即a1·an＝a2·an－1＝a3·an－2＝…＝am·an－m＋1. (5)数列{λan}(λ为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列；若数列{bn}是公比为q′的等比数列，则数列{an·bn}是公比为q·q′的等比数列；数列是公比为的等比数列；数列{|an|}是公比为|q|的等比数列．[来源:学科网] (6)在数列{an}中，每隔k(k∈N*)项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为qk＋1. (7)当数列{an}是各项都为正数的等比数列时，数列{lg an}是公差为lg q的等差数列． (8)在数列{an}中，连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或qk2)的等比数列． (9)若m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列，则am，an，ap成等比数列． 利用等比数列的通项公式易证性质(1)(2)(3)(4)，下面证明其他几条性质 (5)①∵an＝a1·qn－1， ∴λan＝λ·a1·qn－1＝(λa1)·qn－1. 又λ≠0， ∴数列{λan}是首项为λa1，公比为q的等比数列． ②∵bn＝b1·(q′)(n－1)，an＝a1·qn－1， ∴an·bn＝a1·qn－1·b1·(q′)(n－1) ＝(a1·b1)·(q′·q)n－1. ∴数列{an·bn}表示首项为a1·b1，公比为q′·q的等比数列． ③由＝＝·n－1，得数列表示首项为，公比为的等比数列． ④|an|＝|a1·qn－1|＝|a1|·|q|n－1，故数列{|an|}表示首项为|a1|，公比为|q|的等比数列． (6)例如，等比数列{an}中，从首项a1开始每隔3项取出一项构成新数列为a4，a8，a12，a16，a20，a24，…. ∵an＝a1·qn－1，且新数列中＝＝＝＝＝…＝q4， ∴当每隔k项取出一项时，变为＝＝＝…＝qk＋1. (7)∵an＞0且an＝a1·qn－1(q≠0)， ∴lg an＝lg(a1·qn－1)． ∴lg an－lg an－1＝lg(a1·qn－1)－lg(a1·qn－2) ＝(lg a1＋lg qn－1)－(lg a1＋lg qn－2) ＝lg qn－1－lg qn－2＝(n－1)lg q－(n－2)lg q ＝lg q(常数)． ∴数列{lg an}是公差为lg q的等差数列． (8)例如，等比数列{an}中，从首项a1开始，连续取相邻两项的和，构成新数列为a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8，…. ∵＝＝＝…＝q2， ∴连续取相邻k项的和时，变为： ＝＝…＝qk. (9)∵m＋p＝2n且m，n，p∈N*， am＝a1·qm－1，an＝a1·qn－1，ap＝a1·qp－1， ∴am·ap＝a1·qm－1·a1·qp－1＝a·qm＋p－2 ＝(a1·)2＝(a1·qn－1)2＝a. ∴am，an，ap成等比数列． 2．等差数列与等比数列的区别与联系 剖析：等差数列与等比数列的区别与联系如下表所示． 等差数列 等比数列 不同点 (1)强调每一项与前一项的差； (2)a1和d可以为0；[来源:Zxxk.Com] (3)任意两个实数的等差中项唯一；[来源:Z§xx§k.Com] (4)当m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)时， am＋an＝ap＋aq.