数学文化小论文.docVIP

黎曼猜想浅谈 XXX (哈尔滨工业大学 英才学院 123603班 学号6120610319)摘 要:关键词:黎曼（G．F．B．Riemann）(1826.9.17-1866.7. 20)是一个乡村牧师的儿子，出生于德国汉诺瓦（Hannnover）的布雷塞伦茨(Breselenz)，1855年在格丁根大学取得博士学位。1859年作为狄利克雷(Dirichlet)的继承人任格丁根大学教授，同年当选为德国科学院院士，1866年，因胸膜炎与世长辞。1953年，Dover出版社出版了他的全集。 黎曼在其短短的一生中，对数学的数个领域都做出了划时代的贡献，时至今日，单以他的名字命名的数学词条就多达四十余条。1851年，黎曼给出了关于保角映射的基本定理，奠定了几何函数论的基础。1854年，定义了黎曼积分，奠定了积分论的严格数学基础，并提出了黎曼几何学，扩大了非欧几何的研究范围：1857年，发表了《关于阿贝尔(Abel)函数的著名理论》，引入了黎曼曲面，使阿贝尔积分和阿贝尔函数的理论更加系统化。 仅凭上述的一个成就，就足以能使他成为世界上一流的数学家。美国著名数学隶斯蒂恩评价说，黎曼的数学研究几乎影响到了数学的每个分支。 2 黎曼猜想的提出 容易知道，当实变数S1时，级数是收敛的，且可表示为无穷乘积的形式，其中p取遍所有素数，这早已为欧拉所证明。1859年，黎曼发表了《论不大于一个给定值的素数个数》，这是他一生中的最后一篇论文，在该文中第一次把作为复变数s的函数加以研究，从此该函数被人们称作黎曼)函数。黎曼用f函数讨论了素数的分布问题，并连续提出了六个猜想。通过黎曼的工作和他的猜想，在解析数论领域处于中心地位。随者时间的推移，有五个猜想已经被陆续的解决。然而，惟独第五个问题作为猜想的地位依然如故。 3 黎曼猜想的内容 黎曼在文章中指出，关于函数的零点问题，是函数的一个重要内容，因为它与素数分布具有直接的关系。黎曼本人已证明，当Resl时。无零点，当Res 0时，仅在s=-2，-4，…，- 2n，…具有一阶零点，此外再无零点，他称这些零点为平凡零点。因此。函数的无穷多个非平凡零点必落在带状区域0≤Res≤1内，而且容易证明这些零点关于直线Re(s)=1/2呈对称分布。黎曼在第五猜想中更猜测函数的非平凡零点全部落在直线Re(s)=1/2上，这就是著名的关于函数的黎曼猜想。1901年，von Koch证明了该猜想与等价。其中表示不大于实数x的素数个数。这一结果表明长期以来一度被认为是随机分布的素数背后隐藏着奇异的规律和秩序，这种规律和秩序就体现在函数的非平凡零点的分布之中。 4 黎曼猜想的研究进展 近一个半世纪以来，世界上众多知名数学家都试图解决这个形式上既简单又重要的难题，但最终都没能证明或否证。然而他们却开辟了许多研究函数零点的途径。其中第一个突破是由英国数学家哈代(Hardy)和李特吾尔得(Littlewood)做出的，他在1914年证明了有无穷多个零点落在Re(s)=1/2这条直线上。1942年，塞尔伯格(A.Selberg)利用新的方法，建立了N0(T)与的所有非平凡零点总数N(T)的关系，其中N(T)表示在线段1/2+it（o≤t≤T）上的零点个数。显然N(T)≥N0(T)，他证明了N0(T)≥cN(T)，其中c在1/100左右，如果能证明c=l。则黎曼猜想就获得了解决，尽管该结果离c=l还很遥远，但从方法上已使黎曼猜想的研究大大前进了一步，塞尔伯格因此也名声远扬。1950年，他荣获了菲尔兹奖。1974年，美国数学家莱文生证明了。1980年，中国学者棱世拓、姚琦证明了N0(T)≥0.35N(T)。1989年，Conrey得到的c值大于0.4。最近，美国的赫斯一布朗证明了N0(T)≥0.55N(T)，这表明函数的零点至少要超过半数落在直线Re(s)=1/2上，至今这一方向的研究仍很活跃。 另一个值得一提的方法是借助计算机进行的，其思想是寻找一个不在直线Re(s)=1/2的零点。1903年，丹麦数学家戈莱姆（Gzrgen Gram）证明了C(s)的前15个非平凡零点都落在直线Re(s)=1/2上。1968年，美国的三位数学家证明了的前350万个非平凡零点都落在直线Re(s)=1/2上。后来勃赖特(Brent)的计算证实了的前8100万个非平凡零点都落在直线Re(s)=1/2；1986年，范德隆(van de Lune)和黎勒(Riele)合作计算了的前1，500, 000, 001个零点，到2001年，他们已经把数值推进到了100亿。最近，S．Vedeniisk又把这个数字推进到250×109，同时还证明了至少t 70，925，843，233.488时黎曼猜想是正确的。目前，还没有发现黎曼猜想的任何一个反