新华教育高中部数学同步人教A版必修四第一章三角函数三角函数的图象与性质学习过程.docVIP

1.4三角函数的图像与性质 学习过程 知识点1：正弦函数余弦函数的图象 （1）函数y=sinx的图象 第一步：在直角坐标系的x轴上任取一点，以为圆心作单位圆，从这个圆与x轴的交点A起把圆分成n(这里n=12)等份.把x0到2π这一段分成n(这里n=12)等份.（预备：取自变量x值—弧度制下角与实数的对应）. 第二步，，,…，2π的正弦线正弦线（等价于“列表” ）.把角x的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）. 第三步连线用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinxx∈[0，2π]的图象． 根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx，x∈R的图象. 把角x的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx的图象. （2）余弦函数y=cosx的图象 用几何法作余弦函数的图象，可以用“反射法”将角x的余弦线“竖立”[把坐标轴向下平移，过作与x轴的正半轴成角的直线，又过余弦线AA作x轴的垂线，它与前面所作的直线交于A′，那么A与AA′长度相等且方向同时为正，我们就把余弦线A“竖立”起来成为AA′，用同样的方法，将其它的余弦线也都“竖立”起来．再将它们平移，使起点与x轴上相应的点x重合，则终点就是余弦函数图象上的点．] 也可以用“旋转法”把角 的余弦线“竖立”（把角x 的余弦线O1M按逆时针方向旋转到O1M1位置，则O1M1与O1M长度相等，方向相同.）根据诱导公式,还可以把正弦函数x=sinx的图象向左平移单位即得余弦函数y=cosx的图象. 正切函数y=tanx的图像： 知识点2：五点法作图 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）： 正弦函数y=sinxx∈[0，2π]的图象中，五个关键点是： (0,0) (,1) ((,0) (,-1) (2(,0) 余弦函数y=cosx x([0,2(]的五个点关键是 (0,1) (,0) ((,-1) (,0) (2(,1) 只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了．因此在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，要求熟练掌握．(-)=,f()= ,即f(-)=f()；…… 由于cos(－x)=cosx ∴f(-x)= f(x). 以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y）y=cosx的图象上的任一点,那么,与它关于y轴的对称点(-x,y)也在函数y=cosx的图象上，这时，我们说函数y=cosx是偶函数。 定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)= f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。 例如：函数f(x)=x2+1, f(x)=x4-2等都是偶函数。 (2)正弦函数 观察函数y=sinx的图象，当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？ 这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？函数的图象关于原点对称。 也就是说，如果点（x,y）y=sinx的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点（-x,-y）y=sinx的图象上，这时，我们说函数y=sinx是奇函数。 定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 f(－x)=－f(x) ，那么函数f(x)就叫做奇函数。 例如：函数y=x, y= 都是奇函数。 如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性。 注意：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数： （1）其定义域关于原点对称； （2）f(-x)= f(x)或f(-x)=- f(x)必有一成立。因此，判断某一函数的奇偶性时。 首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算f(-x)，看是等于f(x)还是等于- f(x)，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。 知识点4：.单调性 从y＝sinx，x∈［－］的图象上可看出： 当x∈［－，］时，曲线逐渐上升，sinx的值由－1增大到1. 当x∈［，］时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到－1. 结合上述周期性可知： 正弦函数在每一个闭区间［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1. 余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1. 有关对称轴： 观察正、余弦函数的图形，可知 y=si