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08学年度第一学期高三质量调研数学试卷参考答案及评分标准 一、填空题：（5’×11＝55’） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 0 2 题号 7 8 9 10 11 答案 4 8.3 ②、③ 二、选择题：（4’×4＝16’） 题号 12 13 14 15 答案 A C B B 三、解答题：（12’＋14’＋15’＋16’＋22’＝79’） 16.（理）解：设为椭圆上的动点，由于椭圆方程为，故． 因为，所以 推出． 依题意可知，当时，取得最小值．而， 故有，解得． 又点在椭圆的长轴上，即. 故实数的取值范围是． …2 …6 …8 …10 …12 16.（文）解，故左焦点的坐标为. 设为椭圆上的动点，由于椭圆方程为，故． 因为，所以 , 由二次函数性质可知，当时，取得最小值4． 所以，的模的最小值为2，此时点坐标为. …2 …6 …8 …10 …12 17. 解：（1）当时，； 当且时，； 当时，；（不单独分析时的情况不扣分） 当时，. 由（1）知：当时，集合中的元素的个数无限； 当时，集合中的元素的个数有限，此时集合为有限集. 因为，当且仅当时取等号， 所以当时，集合的元素个数最少. 此时，故集合. …2 …4 …6 …8 …12 …14 18.(理) （本题满分15分，第1小题7分，第2小题8分） 解：（1）如图，建立空间直角坐标系.不妨设. 依题意，可得点的坐标，，. 于是，，. 由，则异面直线与所成角的大小为. （2）解：连结. 由，是的中点，得; 由面，面，得. 又，因此面 由直三棱柱的体积为.可得. 所以，四棱锥的体积为 . …3 …7 …9 …11 …13 …15 18. （文）（本题满分15分，第1小题6分，第2小题9分） 解： （2）解：如图所示. 由，，则面.所以，四棱锥的体积为. …3 …6 …10 …15 19．解：（1）根据三条规律，可知该函数为周期函数，且周期为12. 由此可得，； 由规律②可知，， ； 又当时，， 所以，，由条件是正整数，故取. 综上可得，符合条件. （2） 解法一：由条件，，可得 ， ， ，. 因为，，所以当时，， 故，即一年中的7，8，9，10四个月是该地区的旅游“旺季”. 解法二：列表，用计算器可算得 月份 … 6 7 8 9 10 11 … 人数 … 383 463 499 482 416 319 … 故一年中的7，8，9，10四个月是该地区的旅游“旺季”. …3 …6 …9 …10 …12 …14 …16 …15 …16 20.解：（1）依条件得： 则无穷等比数列各项的和为： ； （2）解法一：设此子数列的首项为，公比为，由条件得：， 则，即 而 则 . 所以，满足条件的无穷等比子数列存在且唯一，它的首项、公比均为， 其通项公式为，. 解法二：由条件，可设此子数列的首项为，公比为. 由………… ① 又若，则对每一都有………… ② 从①、②得； 则； 因而满足条件的无穷等比子数列存在且唯一，此子数列是首项、公比均为无穷等比子数列，通项公式为，. …4 …7 …9 …10 …7 …9 …10 （3）以下给出若干解答供参考，评分方法参考本小题阅卷说明： 问题一：是否存在数列的两个不同的无穷等比子数列，使得它们各项的和互为倒数？若存在，求出所有满足条件的子数列；若不存在，说明理由. 解：假设存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，使它们的各项和之积为1。设这两个子数列的首项、公比分别为和，其中且或，则 ， 因为等式左边或为偶数，或为一个分数，而等式右边为两个奇数的乘积，还是一个奇数。故等式不可能成立。所以这样的两个子数列不存在。 【以上解答属于层级3，可得设计分4分，解答分6分】 问题二：是否存在数列的两个不同的无穷等比子数列，使得它们各项的和相等？若存在，求出所有满足条件的子数列；若不存在，说明理由. 解：假设存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，使它们的各项和相等。设这两个子数列的首项、公比分别为和，其中且或，则 ………… ① 若且，则①，矛盾；若且，则① ，矛盾；故必有且，不妨设，则 ①………… ② 1当时，②，等式左边是偶数，右边是奇数，矛盾； 2当时，② 或 ， 两个等式的左、右端的奇偶性均矛盾； 综合可