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有限元分析作业-2 姓名：骆文平 学号：13S10800 班级：13S0822 2014年3月5日【题目】图示结构承受载荷P=1000N,试求结构对称面A-A上的应力。如果结构四周节点均有一刚度为K的弹簧，说明如何处理该弹簧。结构厚度h=10mm，结构材料的弹性模量E=2.1×1011Pa，泊松比μ=0.3 【解答】由结构所受载荷的对称性可知结构的变形也将关于两个坐标轴对称，故可以只取结构的1/4进行研究，计算模型如图所示。 首先计算1单元的刚度矩阵[k]1: 取l、m、n点分别为1单元的1、2、3三个点，则其单元刚度为 本题为平面应力问题，根据其任一二阶子阵的表达式 其中. 经过带入数据计算可得 对于4单元，取l、m、n三点分别为节点3、5、6，显然4单元具有相同于1单元的单元刚阵，即[k]4=[k]1.不过这时的[k]4按节点分块的话，形式如下： 现在计算2单元的单元刚阵[k]2。取l、m、n节点分别为节点3、2、4，则 经计算可得 接下来计算3单元的刚度矩阵[k]3.记l、m、n点分别为节点4、5、3，则 ，经具体计算得 此计算模型的整体刚度矩阵为： 利用已经计算出的各单元钢针，按照以上格式进行叠加可得： 根据位移约束特性可以得出此计算模型整体的节点位移列阵及其节点力列阵如下： {δ}=[0 v1 0 v2 u3 v3 0 0 u5 0 u6 0 ]T {p}=[p1x 500 p2x 0 0 0 p4x p4y 0 p5y 0 p6y]T 根据位移约束特性，由于本题仅需要求解出未知位移即可，故可以去掉整体刚阵的第1、3、7、8、10、12行及其第1、3、7、8、10、12列而得到降阶的方程组，设矩阵[k]降阶后为,则 相应的，， 由 解得未知的节点位移为： 由于要计算的是A-A截面上的应力，显然在计算模型中仅与3单元和4单元有关。 3单元与4单元的的节点位移分别为 接下来计算3单元与4单元的应力矩阵：此题为平面应力问题，各单元应力矩阵可以按节点分块表示为 ，其中每一子块可以如下表示：，其中.据此代入相关数据计算 由单元应力计算公式 ，可以计算出3单元、4单元的应力如下： ，此即A-A截面在节点4、5之间的应力值； ，此即A-A截面在节点5、6之间的应力值。 根据结构应力分布关于两坐标轴的对称性，则A-A截面在y轴以左部分的应力值是容易得知的。如果结构四周节点均有一刚度为K的弹簧，应该根据弹簧变形量（相应节点位移）与弹簧力（相应的节点载荷）的关系，将弹簧约束换作相应的节点载荷作用于结构上，然后进行求解。